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Stempelzahlen

Stempelzahlen sind natürliche Zahlen, die aus zwei teilerfremden Komponenten zusammengesetzt sind. Sie entstehen durch den Sieb des Ulam.
Die Basis bildet ein Vielfaches eines Produkts m, das aus aufeinanderfolgenden Primfaktoren zusammengesetzt ist (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Primfakultät kleiner n, siehe Primorial).
Das größte erlaubte Vielfache ist um 1 kleiner als der größte m-Faktor.
Zur Basis werden die teilerfremden Elemente kleinerer Stempel addiert.
So entstehen Stempelbereiche, die alle Stempelzahlen kleiner m enthalten und der Ausgangsstempel für den nächsthöheren Bereich sind.Stempelzahlen lassen sich als Zahlensystem ähnlich dem Dualsystem oder Dezimalsystem verstehen.
Statt der Potenzen von 2 oder 10 werden hier immer größer werdende Produkte aufeinanderfolgender Primzahlen verwendet.$s\; =\; k\_0\; +\; k\_1*2\; +\; k\_2*6\; +\; k\_3*30\; +\; k\_4*210\; +\; k\_5*2310\; +\; k\_6*30030\; +\; ......\; \backslash ,$Ferner gilt, dass die k-Koeffizienten nur die Größe 0 bis (m-Faktor -1) haben dürfen, $k\_0\; =\; 1\; \backslash ,$ und
dass jede Summe aller Summanden links zu jeder aller Summanden rechts eines Pluszeichens teilerfremd ist!Die Addition eines Vielfachen einer höheren m-Ebene bewirkt das Stempeln und die Bedingung teilerfremd bewirkt das Streichen von Vielfachen des Teilers dieser m-Ebene! Im Ergebnis enthält ein Stempel einfach alle zur Stempelgröße m teilerfremden Zahlen kleiner m. Er fasst das Teilbarkeitsverhalten in Bezug auf die Stempelgröße zusammen. (vgl. Sieb des Eratosthenes und Sieb des Ulam)

Stempel können beliebig um das k-fache ihrer Stempelgröße verschoben werden.
Sie werden dabei immer nach oben verschoben. Am neuen Platz finden sich uU weniger Stempelzahlen durch Streichungen, nie mehr.
Außer an den Plätzen ihres Stempels gibt es auch an der neuen Stelle keine Stempelzahlen.
Auch am neuen Platz fasst der Stempel das Teilbarkeitsverhalten bezogen auf seine Stempelgröße zusammen.

Der kleinste Stempel ist der m-Bereich 2 und enthält nur die 1. Der nächste enthält mit m=6 die Zahlen 1 und 5. Er besteht aus 3 2er Stempeln. Die 3 wird als Vielfaches des aktuellen m-Faktors 3 sofort gestrichen. Der dritte Stempel aus 5 Stempeln des 6er Bereichs ist der 30er Bereich mit den Elementen 1,7,11,13,17,19,23,29. Die Zahlen 5 und 25 werden gestrichen. 7 Stempel des 30er Bereichs ergeben den 210er Stempel. Hier werden bereits 8 Vielfache von 7 gestrichen. (91 und 119 symmetrisch im selben mittleren 30er Stempel.)
Jede größere Zahl liegt in einem 30er, 210er, ... Stempelbereich und hat durch diese Position charakteristische Resteklassen.

Die mathematische Darstellung der Stempelzahlen

Sei $p\_n\; \backslash ,$ die n-te Primzahl und $s\_i\; \backslash ,$ die i-te Stempelzahl.

Sei $P\_n=\; \backslash prod\_\{k=1\}^n\; p\_k\; \backslash ,$$P\_n\; \backslash ,$ ist die Stempelgröße.

$p\_n\; \backslash ,$ ist der (größte) Stempelfaktor.

Ein Stempel $S\_n\; \backslash ,$ ist definiert als



Eine Stempelzahl ist als Summe $1\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; (a\_k*P\_k)\; \backslash ,$ definiert,

die die Bedingungen

und $ggT\backslash Big(\; \backslash sum\_\{k=1\}^j\; (a\_k*P\_k),\; \backslash sum\_\{k=j+1\}^n\; (a\_k*P\_k)\; \backslash Big)=1\; \backslash ,$

für alle

ohne die in ihm enthaltenen Vielfachen von $p\_n\; \backslash ,$.Die Anzahl $A\_n\; \backslash ,$ der Elemente eines Stempels beträgt:

$A\_n=\; \backslash prod\_\{k=1\}^n\; (p\_k-1)\; \backslash ,$

Jeder Stempel hat zwei Randlücken der Größe $(p\_\{n+1\}-1)\; \backslash ,$.

In einem Bereich von $4*p\_n\; \backslash ,$ um die Stempelmitte $P\_n/2\; \backslash ,$ herum
haben alle Stempelzahlen zu dieser Mitte einen Abstand von $2^i\; \backslash \; (i>0)\; \backslash ,$.

Eigenschaften der Stempelzahlen

Die Stempelzahlen sind symmetrisch zur jeweiligen Bereichsmitte m/2:
Ist $s\_1$ eine Stempelzahl des Bereichs $m\_i$, dann ist die Spiegelzahl $s\_2\; =\; m\_i-s\_1\; \backslash ,$ ebenfalls ein Element dieses Bereichs.

Symmetrisch sind auch alle Lücken und alle Stempelzahlenzwilling.
Die Lücken kleinerer Stempel vervielfältigen sich symmetrisch und werden durch symmetrische Streichungen vergrößert.

Die Anzahl der Stempelzahlzwillinge wächst etwas schwächer, aber in derselben Stärke wie die Anzahl der Stempelzahlen. Die Anzahl der Produkte oder nicht-primen Stempelzahlen wächst stärker als die Anzahl der Stempelzahlen.

Die Summe aller Stempelzahlen eines Bereichs ist ein Vielfaches von m.

Die geraden Abstände 2*d zur Bereichsmitte m/2 sind entweder Potenzen von 2
oder Kombinationen von Stempelzahlen mit Potenzen von 2.

Zu jeder Stempelzahl existieren verwandte Stempelzahlen im Abstand $2^n,\; 2*3^n$, zu bestimmten auch im Abstand anderer Potenzen (resteabhängig).
Dabei folgen nie dieselben Potenzen direkt hintereinander ((23+8)+16=(31)+16=47).

Mod m werden Stempelzahlprodukte eines Bereichs wieder auf Stempelzahlen dieses Bereichs abgebildet.
Alle Stempelzahlen eines Bereichs lassen sich paarweise zu Produkten gruppieren, die alle mod m denselben Rest oder dieselbe Stempelzahl ergeben.

Stempelzahlen lassen sich unterteilen in quadratische Reste, Spiegelzahlen quadratischer Reste und nichtquadratische Reste mod m.
Für m=30 sind 1 und 19 (15+4) quadratische Reste. Für m=210 sind 1, 121 und 151, sowie 79, 109 und 169 quadratische Reste (19 nicht mehr!).

Jeder neue Faktor f unterteilt den jeweiligen Stempelzahlenbereich in f-1 Resteklassen (f-1: 2,4,6,10,12,16,18,22,28,...)
Alle Stempelzahlen des nächstkleineren Bereichs werden jeder Klasse je einmal zugeteilt.
Dadurch finden sich in jeder Klasse genausoviele Zahlen wie der nächstkleinere Bereich an Stempelzahlen enthält!
Produkte derselben Klasse ergeben quadratische Reste mod m.

Primzahlen unterliegen dem Rhythmus der Stempelzahlen, das heißt Stempelzahllücken sind immer auch Primzahlenlücken, aber
Primzahlen sind in einem Stempel ungleich verteilt.
Die unteren Teilstempel (ab der Stempelgröße 210) enthalten ausschließlich oder einen größeren Anteil Primzahlen als die oberen.

Anzahl und Dichte der Stempelzahlen

Die Anzahl der Stempelzahlen ist das Produkt der um 1 verminderten Faktoren von m.

mf    m                            Anzahl

2     2            1               1

3     6            1*2             2

5     30           2*4             8

7     210          8*6             48

11    2310         48*10           480

13    30030        480*12          5760

17    510510       5760*16         92160

19    9699690      92160*18        1658880

23    223092870    1658880*22      36495360



Die Dichte der Stempelzahlen ist der Quotient von Anzahl und m:

D= 1*2*4*6*....*(mi-1) /m     mit m= 1*2*3*5*7*.....*mf

Die Frequenz ist der Kehrwert von D.



mf		D		F

2    	        0,5		2

3        	0,33		3

5    		0,2666	        3,75

7     	        0,2286	        4,375	

11  		0,2077	        4,8125

13              0,1918	        5,2135

17   	        0,1805	        5,5393

Wert für 71: D = 0,128 oder jede 7,8 te Zahl ist eine Stempelzahl (von 100 Zahlen ca. 13 Zahlen)!

Bis ca. $10^6$ sind mehr als die Hälfte der Stempelzahlen eines Bereichs Primzahlen.

Beispiele

Das folgende Bild stellt die Stempelzahlen des 210er Bereichs dar. Sie sind nach den Stempelzahlen des 30er Bereichs gruppiert. Quadratische Reste sind rot, Produkte mit gelbem Hintergrund markiert. Die zu 210 nicht teilerfremden Vielfachen von 7 sind mit verkleinerter Schriftgröße dargestellt und bilden neue Lücken in diesem Stempel. (Die Vielfachen von 2,3 und 5 sind aufgrund der kleinen ersten Stempel komplett entfallen. 7 und die folgenden Primzahlen bleiben in höheren Stempeln in Kombinationen enthalten (37, 41, 67, 71, ...)

Stempelzahlprodukte

Werden zwei oder mehr Primzahlen miteinander multipliziert, entsteht ein Stempelzahlprodukt der Form:

N = p*q = (x*m + a) * (y*m + b) = m* (x*y*m + a*y + b*x) + a*b

N = p*q = ((2x+1)*m/2 + (a-m/2)) * ((2y+1)*m/2 + (b-m/2))

m ist dabei die Stempelgröße eines kleineren Bereichs.

Sei nun P eine Primzahl im Abstand z*m zu N, dann muss B=(x*y*m + a*y + b*x) teilerfremd zu s = z*m + a*b sein.
Da es viele Primzahlen in Abstände zi*m zu N gibt, existieren viele Stempelzahlen si.

Da diese viele Primfaktoren enthalten können und B zu diesen teilerfremd sein muss, ist B meist prim.

Stempelzahlvermutungen

Aus der Struktur der Stempelzahlen kann man Vermutungen zur Struktur der Primzahlen ableiten:

1. Es gibt zu jeder Primzahl p weitere im Abstand einer natürlichen 2er-Potenz. $p\; +\; 2^n\; =\; p\_i\; \backslash ,$

Oder dazu äquivalent: Es gibt keine Primzahl p, die nicht durch mindestens eine natürliche Potenz von 2 von einer anderen Primzahl her erreicht werden kann.

:: $p\_0\; \backslash pm\; 2^n\; =\; p\; \backslash \; mit\; \backslash \; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash ,$

2. Zu jeder Primzahl existiert eine weitere, so dass gilt: $p\_1+p\_2\; =\; m\_i\; \backslash ,$
: Anders ausgedrückt: Zu jeder Primzahl existiert ein Stempel, in dem seine Spiegelstempelzahl ebenfalls prim ist.

Anmerkungen

Interessant ist der Zusammenhang, dass die n-te Wurzel aus der Bereichsgröße des n-ten Stempels mit steigendem n gegen e konvergiert. (siehe Primorial)

Die größten Stempelzahllücken müssten sich immer an den Rändern großer Stempel finden.
In der Nähe vieler Primzahllücken finden sich oft Vielfache großer m-Produkte oder deren Hälften (Bereichsmitten).
Die Verteilung und Entwicklung von Stempelzahllücken und deren Beziehung zu Primzahlenlücken muss noch untersucht werden.

Das Maximum, über wieviele kleinere Primzahlen eine bestimmte Primzahl durch die Addition von 2er Potenzen erreicht werden kann, ist der ganzzahlige Anteil des Zweierlogarithmus dieser Primzahl. Gibt es Primzahlen, die auf so vielen Wegen erreicht werden können oder ist es immer maximal eins weniger?
(19 erreicht mit 17, 11, 3 zum Beispiel 3 von 4)

R sei der Rest eines Stempelzahlprodukts N mod m.
Nun gibt es viele Kombinationen von Stempelzahlen des kleineren m-Bereichs a*b, a1*b1, a2*b2, ..., die mod m gleich R sind.
Sei Ri = N-ab

und Rz = N - (a-m/2)*(b-m/2) mit

N = p*q = (x*m + a) * (y*m + b) = m* (x*y*m + a*y + b*x) + a*b

Gibt es einen Weg Unterschiede zwischen N-a*b (richtige Kombination) und N-a1*b1 (falsche Kombination) zu finden?
Gäbe es einen, könnte man baumartig die Teiler von N ermitteln, ohne dass die Möglichkeiten in diesem Baum zu sehr zunehmen.
(siehe Primzahl#Primfaktorzerlegung)

Siehe auch

*Primfakultät oder Primorial: Primorial
*Primzahlenzwillinge: Primzahlzwilling
*Kategorie Primzahlen: Primzahl

Weblinks

*http://primzahlen.de/
*http://www.devalco.de/
*http://www.primzahlen.de/files/referent/dk/index.htm
*http://www.devalco.de/sieb_des_Ulam.htm
*http://www.luschny.de/math/factorial/Primfakultaet.html
*http://www.wissenschaft-online.de/abo/ticker/617058
*http://www.primini.homepage.t-online.de/primgraf.html

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