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Implizites Euler-Verfahren

Das implizite Euler-Verfahren (nach Leonhard Euler) ist das einfachste implizite Verfahren zur numerischen
Lösung eines Anfangswert-Problems.

Das Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswert-Problems:

:$\backslash dot\{x\}=f(t,x),\; \backslash quad\; \backslash quad\; x(t\_0)=x\_0$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite
$h>0$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

:$t\_k=t\_0+kh,\; \backslash quad\; \backslash quad\; k=1,2,\backslash dots$

und berechne die iterierten Werte

:$x\_\{k+1\}=x\_k+hf(t\_\{k+1\},x\_\{k+1\})\; \backslash quad,\backslash quad\; k=0,1,\backslash dots$

Der Wert $f(t\_\{k+1\},x\_\{k+1\})$ ist hierbei nicht explizit gegeben, sondern nur implizit. Zu seiner Berechnung muss also in jedem Iterationsschritt ein (je nach Art der rechten Seite f) lineares oder nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden.

Die berechneten Werte $x\_k$ stellen dann Approximationen an die
tatsächlichen Werte $x(t\_k)$ der exakten Lösung des
Anfangswert-Problems dar. Je kleiner man die Schrittweite $h$ wählt, desto mehr Rechenarbeit hat
man, aber desto besser werden auch die approximierten Werte.

Wird ein Verfahren über $x\_\{k+1\}=x\_k+hf(t\_\{k\},x\_\{k\})$ definiert, erhält man das explizite_Euler-Verfahren.

Eigenschaften

Das implizite Euler-Verfahren hat Konsistenz- und Konvergenzordnung 1. Es ist A-stabil, sein Stabilitätsgebiet enthält also die komplette linke Halbebene der komplexen_Zahlenebene. Es gibt damit für das implizite Euler-Verfahren keine Einschränkungen an die Zeitschritte aufgrund von Stabilitätseinschränkungen, was den Zwang des Lösens von Gleichungssystemen in jedem Schritt wettmacht. Aufgrund der geringen Ordnung ist es damit besonders für Probleme interessant, bei denen die Iteration in einen stabilen Endzustand hineinläuft und die Genauigkeit der Zwischenergebnisse nicht interessant ist.

Literatur

*E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer Verlag
*M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9

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