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Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.

Im allgemeinen ist mit ?Chi-Quadrat-Verteilung? die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter $n$ kann, muss aber nicht, eine natürliche_Zahl sein und heißt ihre Zahl der Freiheitsgrade.

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet.
Man benutzt sie zur Beschreibung der Summe unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen.

Definition

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden ist die Verteilung der Summe
:$\backslash chi\_n^2\; =\; Z\_1^2\; +\; \backslash ldots\; +\; Z\_n^2$
n unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen, d. h.

:$Z\_k\backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(0,1)$ für $k\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n$.

Man schreibt:
:$\backslash chi^2\backslash sim\backslash chi^2\_n.\backslash ,$

Dichte

Die Dichte f_n der $\backslash chi\_n^2$-Verteilung mit $n$
Freiheitsgraden, hat die Form:

:$f\_\{n\}(x)\; =$
\begin{cases}\displaystyle
\frac{x^{\frac{n}{2}-1}e^{ -\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} & x>0 \\
0 & x\leq 0
\end{cases}

Dabei steht $\backslash Gamma(z)$ für die Gammafunktion.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion kann man nicht in elementarer Form schreiben, jedoch mit Hilfe der
regularisierten_unvollständigen_Gammafunktion:

:$F\_n(x)=\; P\backslash left(\backslash frac\{n\}\{2\},\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)$

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist
:$\backslash operatorname\{E\}(X)\; =\; n$.

Varianz

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist
:$\backslash operatorname\{Var\}(X)\; =\; 2n$.

Modus

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n-2$ für $n\backslash ge\; 2$.

Schiefe

Die Schiefe der Chi-Quadrat-Verteilung ist
:$\backslash operatorname\{v\}(X)\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{n\}\}$.

Summe ?²-verteilter Zufallsvariablen

Sind $X\_1,X\_2,...,X\_n$ unabhängige Zufallsvariable, mit $X\_i\backslash sim\backslash chi^2(\backslash nu\_i)$, so gilt:

:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i\; \backslash sim\backslash chi^2(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash nu\_i)$


Die Chi-Quadrat-Verteilung ist also reproduktiv.

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes $\backslash mu\_i\; (i\; =\; 1,\; ...\; ,\; n)$ zentriert sind, erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben $n$ den Nichtzentralitätsparameter $\backslash lambda\; >\; 0$.

Seien $Z\_i\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu\_i,1),\backslash ,i=1,2,\backslash ldots\; n$, so ist
:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{Z\_i\}^2\backslash sim\; \backslash chi^2(n,\backslash lambda)$ mit $\backslash lambda=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{\backslash mu\_i\}^2$.

Insbesondere folgt aus $X\backslash sim\backslash chi^2(n-1)$ und $Z\backslash sim\backslash mathcal\{N\}(\backslash sqrt\{\backslash lambda\},1)$, dass $X+Z^2\backslash sim\backslash chi^2(n,\backslash lambda)$ ist.

Eine zweite Möglichkeit, eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung zu erzeugen, ist als Mischverteilung der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist
:$\backslash chi^2(n+2\backslash ,j)=\backslash chi^2(n,\backslash lambda)$,
wenn $j\backslash sim\backslash mathcal\{P\}(\backslash frac\{\backslash lambda\}\{2\})$ aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.

Die Dichtefunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ist
:$f(x)=\backslash frac\{\backslash exp\{\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{2\}(x+\backslash lambda)\backslash right]\}\}\{2^\{\backslash frac\{n\}\{2\}\}\}\backslash ,$
\sum_{j=0}^\infty \frac{x^{\frac{n}{2}+j-1}\lambda^j}{2^{2j}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}+j\right)\,j!} für $x\backslash ge\; 0$, $f(x)=0$ für .

Darstellung durch modifizierte Bessel-Funktion

Die Dichtefunktion kann alternativ auch mit Hilfe der modifizierten Bessel-Funktion erster Gattung $I\_q(x)$ dargestellt werden:
:$f(x)=\backslash frac\{\backslash exp\{\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{2\}(x+\backslash lambda)\backslash right]\}\; x^\{\backslash frac\{1\}\{2\}(n-1)\}\; \backslash sqrt\{\backslash lambda\}\}\{2(\backslash lambda\; x)^\{\backslash frac\{n\}\{4\}\}\}\backslash ,$
I_{\frac{n}{2}-1}\left(\sqrt{\lambda x}\right) für $x\backslash ge\; 0$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Gammaverteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist $X\backslash sim\; \backslash chi^2\_n$, so gilt
:$X\; \backslash sim\; \backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{n\}\{2\},\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)$.

Beziehung zur Normalverteilung

e einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung]]

*Die Summe $X\_n=Z\_1^2\; +\; \backslash ldots\; +\; Z\_n^2$ von $n$ unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen $Z\_i\backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(0,1)\; (i=1,\backslash ldots,n)$ genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung $X\_n\backslash sim\backslash chi^2\_n$ mit $n$ Freiheitsgraden.

*Für $n\; \backslash geq\; 30$ ist $Y\; =\; \backslash sqrt\{2X\}\; -\; \backslash sqrt\{2n-1\}$ näherungsweise standardnormalverteilt.

*Für $n>100$ ist die Zufallsvariable $X$ näherungsweise normalverteilt mit $\backslash mathcal\{N\}\backslash left(\; \backslash mu\; =\; n,\; \backslash sigma=\backslash sqrt\{2n\}\backslash right)$, wobei $\backslash mu$ bzw. $\backslash sigma$ Erwartungswert und Standardabweichung darstellen.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung $\backslash chi^2\_2$ mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung $\backslash operatorname\{Exp\}(1/2)$ mit dem Parameter $\backslash lambda=1/2$.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit $2n$ Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden und $\backslash lambda=1/2$.

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn $Y\_\{1m\}\backslash ,$ und $Y\_\{2n\}\backslash ,$ unabhängige $\backslash chi^\{2\}\backslash ,$-verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden m und n sind, dann ist der Quotient
:$F\_\{m,n\}=\backslash frac\{Y\_\{1m\}/m\}\{Y\_\{2n\}/n\}$

eine Zufallsvariable, die der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (m,n) genügt.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Für gerade $n=2m$ kann man die $\backslash chi\_n^2$-Verteilung als m-fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig_stetige Dichte $U(0,1)$:

:$\backslash chi\_n^2\; =\; -\backslash frac\; 12\backslash ln\{\backslash left(\backslash prod\_\{i=1\}^m\; u\_i\backslash right)\}=-\backslash frac\; 12\backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash ln(u\_i)$,

worin die u_i m unabhängige gleichmäßig stetig verteilten Zufallsvariablen sind.

Für ungerade $n$ gilt dagegen
:$\backslash chi\_n^2\; =\; \backslash chi\_\{n-1\}^2\; +\; \backslash left[\backslash mathcal\{N\}(0,1)\backslash right]^\{2\}$

Literatur

Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 152 ff., ISBN 3486249843.

Weblinks

• uni-konstanz - Interaktive Animation
*

su:Sebaran chi-kuadrat

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