Chebotarevscher Dichtigkeitssatz
Der Chebotarevsche Dichtigkeitssatz (nach Nikolai Grigoryevich Chebotaryov, 1922) ist eine Verallgemeinerung des Satzes_von_Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen auf Galoiserweiterungen von Zahlkörpern. Im Falle einer abelschen_Erweiterung von Q erhält man daraus den Satz zurück, dass die Menge der Primzahlen der Form , natürliche Dichtigkeit hat. In seiner allgemeinen Form folgt daraus insbesondere, dass genau der Primzahlen vollständig zerlegt in einer Galoiserweiterung von Q vom Grad sind.Formulierung
Sei eine galoissche Erweiterung von Zahlkörpern mit , und eine unverzweigten Primideale von , deren Frobenius-Element (im Falle einer nicht-abelschen Erweiterung ist dies im Allgemeinen eine Konjugationsklasse) gleich ist, natürliche Dichtigkeit
: .
Anwendungen
Für eine abelsche Erweiterung, beispielsweise bei voll zerlegt, in genau zwei zerlegt (mit Trägheitsgrad und ) und träge sind.
Man kann daraus auch folgern, dass es genau für zusammengesetzte Zahlen ein irreduzibles Polynom über einem globalen_Körper gibt, sodass über allen lokalen Vervollständigungen reduzibel ist. (Robert Guralnick; Murray M. Schacher; Jack Sonn, [http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0002-9939-05-07855-X Irreducible polynomials which are locally reducible everywhere], in: Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 3171?3177) Beispielsweise gilt dies für jedes mit Galoisgruppe isomorph zur Kleinschen_Vierergruppe .
Über die Zerlegung eines Polynoms in Restklassenkörpern kann man auch Informationen über die Struktur dessen Galoisgruppe erhalten und diese mit dem Chebotarevschen Dichtigkeitssatz probabilistisch eingrenzen.
Zerfällt modulo fast allen Primzahlen vollständig in Linearfaktoren, so zerfällt es auch über Q vollständig; dies ist eine Art Lokal-Global-Prinzip. Ist ein irreduzibles Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das modulo fast allen Primzahlen eine Nullstelle hat, so hat es Grad .
Sind Galoiserweiterungen eines Zahlkörpers , und ist die Menge der Primideale von , die in bzw. voll zerlegt sind, bis auf endlich viele Ausnahmen gleich, so folgt . (Dabei kann die Voraussetzung, dass die Erweiterungen galoissch sind, nicht fallengelassen werden.) Eine Galoiserweiterung ist also eindeutig bestimmt durch die Menge der vollzerlegten Primideale. Um also die Galoiserweiterungen von zu klassifizieren, genügt es, die Mengen von Primidealen von zu bestimmen, die als Mengen von vollzerlegten Primidealen auftreten können. Dies geschieht für abelsche Erweiterungen gerade durch die Klassenkörpertheorie; für nicht-abelsche Erweiterungen ist dies noch immer ein ungelöstes Problem, siehe Langlands-Programm.
