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Charakteristische Funktion (Stochastik)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion $\backslash varphi\_X\backslash colon\backslash R\backslash to\backslash mathbb\{C\}$ (oft auch als momenterzeugende Funktion bezeichnet) einer Zufallsvariablen $X$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ folgendermaßen definiert:

:$\backslash varphi\_X(t)\; :=\; \backslash operatorname\{E\}\backslash left(e^\{\backslash mathrm\{i\}tX\}\backslash right)$
= \operatorname{E}\left(\cos (tX)\right) + \mathrm{i}\operatorname{E}\left(\sin (tX)\right)
= \int_\Omega e^{\mathrm{i}tx}\, \mathrm{d}F_X(x)
= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, e^{\mathrm{i}tx}\,\mathrm{d}x.

$t$ steht hier für eine reelle Zahl, $\backslash operatorname\{E\}$ bezeichnet den Erwartungswert und $F$ ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen. Die letzte Darstellung ist nur gültig, wenn die Dichte $f\_X$ existiert.

Die charakteristische Funktion ist somit im Wesentlichen die inverse Fourier-Transformierte der Verteilung der Zufallsvariablen.

Für diskrete Zufallsvariablen gilt analog:
:$\backslash varphi\_\{X\}(t)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; e^\{\backslash mathrm\{i\}tx\_k\}P(X=x\_\{k\})$

Eigenschaften

Seien $X$ und $Y$ unabhängige Zufallsvariablen und $t\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ eine reelle Zahl. Dann gilt:
* Beschränktheit: $|\backslash varphi\_X(t)|\backslash leq\backslash varphi\_X(0)=1$
* lineare Transformation: $\backslash varphi\_\{aX+b\}(t)=e^\{\backslash mathrm\{i\}tb\}\backslash varphi\_X(at)$ für alle reellen $a,b\backslash in\backslash mathbb\{R\}$
* Faltung: $\backslash varphi\_\{X+Y\}(t)=\backslash varphi\_\{X\}(t)\backslash ,\backslash varphi\_\{Y\}(t)$
* Umkehrfunktion: $f\_\{X\}(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{-\backslash mathrm\{i\}tx\}\backslash varphi\_\{X\}(t)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$
* Momenterzeugung: $\backslash varphi\_X^\{(k)\}(0)=\backslash mathrm\{i\}^k\backslash ,\backslash operatorname\{E\}(X^k)$ für alle natürlichen $k\backslash in\backslash mathbb\{N\}$, falls . Diese Eigenschaft erklärt die alternative Bezeichnung momenterzeugende Funktion. Insbesondere ergeben sich die Spezialfälle
:* $\backslash operatorname\{E\}(X)=\backslash frac\{\backslash varphi\_X\text{'}(0)\}\{\backslash mathrm\; i\}$
:* $\backslash operatorname\{E\}(X^2)=-\backslash varphi\_X\text{'}\text{'}(0)$
:Wenn ein $n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ existiert mit , dann ist $\backslash varphi\_X$ $n$-mal stetig differenzierbar und in eine Taylor-Reihe um $0$ entwickelbar:
::$\backslash varphi\_X(t)\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^n\backslash frac\{\backslash varphi\_X^\{(k)\}(0)\}\{k!\}t^k+R\_\{n+1\}(t)\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^n\backslash frac\{(\backslash mathrm\{i\}t)^k\}\{k!\}\backslash operatorname\{E\}(X^k)+R\_\{n+1\}(t)$
:Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen $X$ mit $\backslash operatorname\{E\}X=0$ und $\backslash operatorname\{Var\}X=1$:
::$\backslash varphi\_X(t)\; =\; 1-\backslash frac\{1\}\{2\}t^2+R\_3(t)$ mit $\backslash lim\backslash limits\_\{t\backslash rightarrow\; 0\}\backslash frac\{R\_3(t)\}\{t^2\}=0$

Eindeutigkeitssatz

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz: Wenn $X$, $Y$ Zufallsvariablen sind und $\backslash varphi\_X(t)=\backslash varphi\_Y(t)$ für alle $t\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ gilt, dann ist $X=^dY$, d.h. $X$ und $Y$ haben die gleiche Verteilungsfunktion. Folglich kann man damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmen.

Aus dem Eindeutigkeitssatz lässt sich der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér folgern: Wenn $(X\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}$ eine Folge von Zufallsvariablen ist, dann konvergiert $X\_n\backslash rightarrow^dX$ in_Verteilung genau dann, wenn $\backslash lim\backslash limits\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash varphi\_\{X\_n\}(t)=\backslash varphi\_X(t)$ für alle $t\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ gilt. Diese Eigenschaft kann bei zentralen_Grenzwertsätzen ausgenutzt werden.

Beispiele

* Ist $X\backslash sim\; N(0,1)$ standardnormalverteilt, dann ist $\backslash varphi\_X(t)=e^\{-\backslash frac\{t^2\}\{2\}\}$.
* Ist $X\backslash sim\; N(\backslash mu,\backslash sigma^2)$ normalverteilt, dann ist $\backslash varphi\_X(t)=e^\{\backslash mathrm\{i\}t\backslash mu\}e^\{-\backslash frac\{\backslash sigma^2t^2\}\{2\}\}$.
* Ist $X\backslash sim\; B(n,p)$ binomialverteilt, dann ist $\backslash varphi\_X(t)=\backslash left(pe^\{\backslash mathrm\{i\}t\}+1-p\backslash right)^n$.
* Ist $X\backslash sim\; P(\backslash lambda)$ poissonverteilt, dann ist $\backslash varphi\_X(t)=e^\{\backslash lambda\backslash left(e^\{\backslash mathrm\{i\}t\}-1\backslash right)\}$.

Als Folgerung ergibt sich mit obigem Eindeutigkeitssatz die Reproduktivität dieser Verteilungen.

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