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Charakter (Mathematik)

Im mathematischen_Teilgebiet der Darstellungstheorie sind Charaktere gewisse Homomorphismen in den Grundkörper.

Charaktere einer Gruppe

Abstrakte und topologische Gruppen

Es sei $G$ eine abstrakte Gruppe oder eine topologische Gruppe. Ein Charakter von $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus
: $G\backslash to\backslash mathbb\; C^\backslash times$
in die multiplikative Gruppe der komplexen_Zahlen; bei topologischen Gruppen wird noch Stetigkeit gefordert. Ein unitärer Charakter ist ein Charakter, dessen Bild in $S^1=\backslash \{z\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash mid\; /\text{'}>z|=1\backslash \}$ liegt.

Hinweis: Häufig werden allgemeine Charaktere als Quasi-Charaktere und unitäre Charaktere als Charaktere (ohne Zusatz) bezeichnet.

= Eigenschaften

=

* Die Charaktere von $G$ bilden mit der durch
:: $(\backslash chi\backslash cdot\backslash psi)(g)=\backslash chi(g)\backslash cdot\backslash psi(g)$
: erklärten Gruppenverknüpfung eine Zahlentheorie versteht man unter einem Dirichlet-Charakter einen Charakter $\backslash chi$ auf der Gruppe

: $(\backslash mathbb\{Z\}/n\backslash mathbb\{Z\})^\{\backslash times\}\; =\; \backslash \{k\backslash \; (mod\backslash \; n)\; /\text{'}>\; ggT(k,n)=1\backslash \}.$

Für einen solchen Charakter definiert man eine ebenfalls als Dirichlet-Charakter bezeichnete
Funktion

: $\backslash chi\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$,

:
\mathrm{falls} \ ggT(k,n)>1 \end{cases}.

Dirichlet-Charaktere spielen eine wichtige Rolle beim Beweis des Dirichletschen Satzes über die
Existenz unendlich vieler Dirichletreihen mit
einem Dirichlet-Charakter als Koeffizienten.

Da für endliche abelsche Gruppen die Charaktergruppe isomorph zur Ausgangsgruppe ist, gibt es $\backslash varphi(n)$ verschiedene Charaktere auf der Gruppe
$(\backslash mathbb\{Z\}/n\backslash mathbb\{Z\})^\{\backslash times\}$, dabei ist $\backslash varphi(n)$ die Eulersche Phi-Funktion.

Für $n=5$ ist beispielsweise $\backslash varphi(5)=4$, d.h. es gibt neben dem Haupt- oder trivialen Charakter $\backslash chi\_1$ noch drei weitere Charaktere:

Für einen Dirichlet-Charakter $\backslash chi$ gilt:

:
\mathrm{sonst}\end{cases}Für ein festes $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ gilt:

:
\mathrm{sonst}\end{cases}
wobei die Summe über alle Charaktere $\backslash chi\; \backslash \; (mod\backslash \; n)$ genommen wird.

Ein Dirichlet-Charakter ist eine vollständig multiplikative Darstellung von $G$, so heißt die Abbildung
: $\backslash chi\backslash colon\; G\backslash to\; K,\backslash quad\; g\backslash mapsto\backslash operatorname\{tr\}\backslash rho(g),$
die einem Gruppenelement $g$ die Spur des entsprechenden $K$-linearen Automorphismus $\backslash rho(g)$ zuordnet, der Charakter von $\backslash rho$. Im eindimensionalen Fall handelt es sich um einen Charakter von $G$ im oben definierten Sinne. Im allgemeinen Fall ist $\backslash chi$ jedoch nicht multiplikativ.

Charaktere sind konstant auf Konjugationsklassen. Eine tabellarische Aufstellung der Werte der Charaktere der irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe auf den einzelnen Konjugationsklassen nennt man Charaktertafel.

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