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Gaußklammer

Die Gauß-Klammer wird auch als Ganzzahl-Funktion oder Abrundungsfunktion bezeichnet (engl. floor function). Sie wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt und man schreibt $\backslash operatorname\{floor\}(x)$ oder $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$, manchmal wird auch einfach $\backslash left[\; x\; \backslash right]$ verwendet.

Sie ist folgendermaßen definiert:
:Für eine reelle_Zahl $x$ ist $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ die größte ganze_Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.

:$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor:=\backslash max\_\{k\backslash in\backslash Z,\; k\backslash leq\; x\}(k)$

Beispiele

*$\backslash lfloor\; 2\{,\}8\; \backslash rfloor\; =\; 2$
*$\backslash lfloor\; -2\{,\}8\; \backslash rfloor\; =\; -3$
::Das Ergebnis ist nicht, wie vielleicht vermutet, $-2$, da definitionsgemäß gelten muss: $\backslash lfloor\; a\; \backslash rfloor\; \backslash le\; a$ und $-2$ dieser Definition nicht gerecht wird.
*$\backslash lfloor\; 2\; \backslash rfloor\; =\; 2$

Es gilt immer
:
Dabei ist $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; =\; x$ genau dann, wenn $x$ eine ganze Zahl ist. Für jede ganze Zahl $k$ und jede reelle Zahl $x$ gilt
:$\backslash lfloor\; x+k\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; +\; k$

Die Ganzzahl-Funktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.

Aufrundungsfunktion

Eine eng verwandte Funktion ist die Aufrundungsfunktion (engl. ceiling function). Man schreibt diese Funktion als $\backslash operatorname\{ceil\}(x)$ oder $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$. Sie ist so definiert:

:Für eine reelle Zahl $x$ ist $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich $x$ ist.

:$\backslash lceil\; x\; \backslash rceil:=\backslash min\_\{k\backslash in\backslash Z,\; k\backslash ge\; x\}(k)$

Beispiele

*$\backslash lceil\; 2\{,\}8\; \backslash rceil\; =\; 3$
*$\backslash lceil\; -2\{,\}8\; \backslash rceil\; =\; -2$
*$\backslash lceil\; 2\; \backslash rceil\; =\; 2$

Sonstige Eigenschaften

Es ist stets
:$\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; +\; \backslash lfloor\; -x\; \backslash rfloor\; =\; 0$

Sind $m$ und $n$ teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt
:$\backslash sum\_\{j=1\}^\{n-1\}\; \backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash frac\{jm\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; =\; \backslash frac\{(m-1)(n-1)\}\{2\}$

Für $\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash rfloor=\; \backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{a+1\}\; \backslash rfloor$ gibt es $\backslash frac\{a(a+1)\}\{2\}$ Lösungen mit $a\backslash in\backslash N,\; a>0$ und $x\backslash in\backslash N$.

Gewöhnliche Rundung

Die gewöhnliche_Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl erreicht man mit $\backslash lfloor\; x\; +\; 0\{,\}5\backslash rfloor$.

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