Cassinische Kurve

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Cassinische Kurve

Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini) ist der Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten

(c,0)

und

(-c,0)

gleich

a^2

ist.
Ein Spezialfall der Cassinischen Kurve ist die Lemniskate.

Gleichungen

Die Kurve lässt sich in kartesischen_Koordinaten durch die Gleichung

(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4\qquad a>0,c>0

beschreiben. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung

\rho^2=c^2\cos(2\rho)\pm\sqrt{c^4\cos^2(2\rho)+(a^4-c^4)}\qquad a>0,c>0.

Form der Kurve

Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in fünf Fälle unterscheiden:

;1. Fall
:Für

a>c\sqrt{2}

ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen in diesem Fall bei

(\pm\sqrt{a^2+c^2},0)

, die Schnittpunkte mit der y-Achse bei

(0,\pm\sqrt{a^2-c^2})

.

;2. Fall
:Für

a=c\sqrt{2}

ergibt sie wieder ein ellipsenförmiges Oval. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen nun bei

(\pm c\sqrt{3},0)

. An den Schnittpunkten mit der y-Achse bei

(0,\pm c)

ist die Krümmung der Kurve gleich 0.

;3. Fall
:Für

c ergibt sich ein eingedrücktes Oval mit den gleichen Achsenabschnitten wie im Fall a>c\sqrt{2} . Neben den beiden y-Achsenabschnitt en sind die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten \left(\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm\frac{a^2}{2c} \right) . Die vier Wendepunkte liegen bei \left(\pm\sqrt{\frac{1}{2}(m-n)},\pm\sqrt{\frac{1}{2}(m+n)}\right) mit m=\sqrt{\frac{a^4-c^4}{3}} und n=\frac{a^4-c^4}{3c^2} .

;4. Fall
:Für

a=c

ergibt sich die Lemniskate.

;5. Fall
:Für

a ergeben sich zwei Ovale um die Punkte (c,0) und (-c,0) . Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei (\pm\sqrt{a^2+c^2},0) bzw. (\pm\sqrt{a^2-c^2)},0) . Die Extrema sind an den Punkten \left(\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm\frac{a^2}{2c}\right) .

Weblink

• "Mathematik verstehen"

Literatur

*Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, 3-8171-2006-0

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