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Cartesisches Produkt
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Kartesisches Produkt In der
Mathematik bezeichnet man als
kartesisches Produkt (nach
René Descartes ) zweier
Mengen A und
B die Menge aller
geordneten_Paare (
a ,
b ), wobei
a aus
A und
b aus
B ist. (Kombination: "Jedes mit jedem") Geschrieben wird es als
A ×
B , gelesen als
A kreuz B :
:
A \times B := \left\{(a, b)|a \in A, b \in B\right\Kalender , in dem die Wochentage waagerecht nebeneinander angeordnet sind und die Wochen untereinander. Jeder einzelne Tag ist durch die Angabe seiner Kalenderwoche und des Wochentages bestimmt: Alle untereinander in einer Spalte stehenden Tage haben denselben Wochentag, alle nebeneinander in einer Zeile stehenden Tage liegen in derselben Kalenderwoche. Eigenschaften Anzahl der Elemente A_1,\ldots,A_n endlich viele Mengen, die alle endlich sind, dann ist auch ihr kartesisches Produkt eine endliche Menge, und die Anzahl seiner Elemente ist gleich dem Produkt der Elementanzahlen der A_i :|A_1 \times \ldots \times A_n| = |A_1|\cdot\ldots\cdot|A_n| Assoziativgesetz assoziativ ;A_1 \times \left(A_2 \times A_3\right) A_1 und deren zweites Element ein Paar aus A_2\times A_3 ist;\left(A_1 \times A_2 \right)\times A_3 A_1\times A_2 und deren zweites Element aus A_3 ist. Da es aber eine kanonisch e Bijektion zwischen diesen Mengen gibt, kann der Unterschied zwischen A_1 \times \left(A_2 \times A_3\right) und \left(A_1 \times A_2 \right)\times A_3 in vielen Fällen vernachlässigt werden, da er lediglich einer Notationsänderung entspricht. Kommutativgesetz kommutativ ; bei A_1 \times A_2 ist das erste Element aus A_1 und das zweite aus A_2 ; bei A_2 \times A_1 hingegen ist das zweite Element aus A_1 und das erste aus A_2 . Auch hier gibt es eine kanonisch e Bijektion zwischen A_1 \times A_2 und A_2 \times A_1 . Distributivgesetze Distributivgesetz e:\left(A_1 \cup A_2\right) \times B = \left(A_1 \times B\right) \cup \left(A_2 \times B\right) B \times \left(A_1 \cup A_2\right) = \left(B \times A_1\right) \cup \left(B \times A_2\right) \left(A_1 \cap A_2\right) \times B = \left(A_1 \times B\right) \cap \left(A_2 \times B\right) B \times \left(A_1 \cap A_2\right) = \left(B \times A_1\right) \cap \left(B \times A_2\right) Sonstige Rechenregeln \left(A_1 \cap A_2\right) \times \left(B_1 \cap B_2\right) = \left(A_1 \times B_1\right) \cap \left(A_2 \times B_2\right) ,\left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right) \neq \left(A_1 \times B_1\right) \cup \left(A_2 \times B_2\right) ,A_1=\emptyset, A_2=\lbrace a\rbrace, B_1=\lbrace b\rbrace, B_2=\emptyset \left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right)=\lbrace\left(a,b\right)\rbrace \left(A_1 \times B_1\right) \cup \left(A_2 \times B_2\right)=\emptyset . Unendliches kartesisches Produkt \Lambda eine Menge (eine so genannte Indexmenge \{A_\lambda | \lambda \in \Lambda\} ein System von Mengen (eine so genannte Mengenfamilie ), dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen A_\lambda so:\prod_{\lambda \in \Lambda } A_\lambda = \Big\{ f \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda } A_\lambda \ \Big|\ \forall \lambda \in \Lambda \colon f(\lambda ) \in A_\lambda \Big\} \Lambda in die Vereinigung der A_\lambda , für die das Bild von \lambda in A_\lambda liegt.\Lambda = \{1,2,\ldots,n\} lässt sich diese Menge bijektiv auf das oben definierte Produkt abbilden, denn jedes n -Tupel (a_1, \ldots, a_n) definiert eine Funktion f mit f(1):=a_1,\ldots,f(n):=a_n und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Tupel (f(1),\ldots,f(n)) schreiben.A_\lambda gleich einer Menge A , dann ist das kartesische ProduktA^\Lambda \,= \, \prod_{\lambda \in \Lambda} A die Menge aller Funktionen von \Lambda nach A .\Lambda = \mathbb{N} (die Menge der natürlichen_Zahlen ). In diesem Fall erhält man als kartesisches Produkt die Menge aller Folgen, deren i -tes Glied in der Menge A_i liegt. Sind z. B. alle A_i = \mathbb{R} (die Menge der reellen_Zahlen ), dann ist\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^{\mathbb N}= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots die Menge aller reellen_Zahlenfolgen .N und unterschiedliche Mengen A_\lambda ist das kartesische Produkt weit weniger anschaulich:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des Auswahlaxiom s, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC (?Zermelo-Fraenkel + Choice?) zu erhalten. Verwandte Begriffe direktes Produkt ist ein kartesisches Produkt algebraischer Strukturen wie z. B. Gruppen, das zusätzlich mit einer komponentenweisen Verknüpfung versehen ist.direkte Summe ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet: Es besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem neutralen Element einer Verknüpfung) verschieden sind.Produkt (Mathematik) enthält weitere Produkt-Begriffe.Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produkts.be-x-old:????????? ???????? VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE
