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Differentialform

Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential und den aus der Vektoranalysis bekannten Gradienten. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie.

Kontext

Es sei $U$
* eine offene Teilmenge des $\backslash mathbb\; R^n$
* oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des $\backslash mathbb\; R^n$
* oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
In jedem dieser Fälle gibt es
* den Begriff der differenzierbaren Funktion auf $U$; der Raum der differenzierbaren Funktionen auf $U$ werde mit $C^\backslash infty(U)$ bezeichnet;
* den Begriff des Tangentialraums $\backslash mathrm\; T\_pU$ an $U$ in einem Punkt $p\backslash in\; U$;
* den Begriff der Richtungsableitung $Xf$ für einen Tangentialvektor $X\backslash in\backslash mathrm\; T\_pU$ und eine differenzierbare Funktion $f$;
* den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf $U$; der Raum der Vektorfelder auf $U$ sei mit $\backslash Gamma\backslash mathrm\; TU$ bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums $\backslash mathrm\; T\_pU$ wird als Kotangentialraum $\backslash mathrm\; T^*\_pU$ bezeichnet.

Definition

Eine k-Form oder Differentialform vom Grad k ist eine alternierende $C^\backslash infty(U)$-multilineare Abbildung $\backslash omega\backslash colon(\backslash Gamma\backslash mathrm\; TU)^k\backslash to\; C^\backslash infty(U)$.

Das bedeutet: $\backslash omega$ ordnet $k$ Vektorfeldern $X\_1,\backslash ldots,X\_k$ eine Funktion $\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\_k)$ zu, so dass
* $\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\text{'}\_i+X$_i,\ldots,X_k)=\omega(X_1,\ldots,X'_i,\ldots,X_k)+\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_k)
* $\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,f\backslash cdot\; X\_i,\backslash ldots,X\_k)=f\backslash cdot\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\_i,\backslash ldots,X\_k)$ für $f\backslash in\; C^\backslash infty(U),1\backslash leq\; i\backslash leq\; k$
und
* $\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\_i,\backslash ldots,X\_j,\backslash ldots,X\_k)=-\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\_j,\backslash ldots,X\_i,\backslash ldots,X\_k)$,
d.h. vertauscht man zwei der Argumente von $\backslash omega$, so erhält man das Negative des ursprünglichen Wertes.

Alternativ dazu ordnet $\backslash omega$ jedem Punkt $p\backslash in\; U$ eine alternierende $\backslash mathbb\; R$-multilineare Abbildung
:$\backslash omega\_p\backslash colon(\backslash mathrm\; T\_pU)^k\backslash to\backslash mathbb\; R$
zu, so dass für $k$ Vektorfelder $X\_1,\backslash ldots,X\_k$ die Funktion
:$p\backslash mapsto\backslash omega\_p((X\_1)\_p,\backslash ldots,(X\_k)\_p)\backslash in\backslash mathbb\; R$
differenzierbar ist.

0-Formen sind differenzierbare Funktionen, und 1-Formen sind pfaffsche Formen.

Die Menge der $k$-Formen auf $U$ wird mit $\backslash Omega^k(U)$ bezeichnet. Ist $k>\backslash dim\; U$, so ist $\backslash Omega^k(U)=\backslash \{0\backslash \}$.

Man kann $\backslash omega\_p$ als Element der äußeren_Potenz $\{\backslash bigwedge\backslash !\}^k\backslash ,\backslash mathrm\; T^*\_pU$ auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d.h. das Produkt $\backslash wedge$ in der äußeren_Algebra) Abbildungen
:$\backslash Omega^k(U)\backslash times\backslash Omega^\backslash ell(U)\backslash to\backslash Omega^\{k+\backslash ell\}(U),\backslash quad(\backslash omega,\backslash eta)\backslash mapsto\backslash omega\backslash wedge\backslash eta,$
wobei $\backslash omega\backslash wedge\backslash eta$ punktweise definiert ist:
:$(\backslash omega\backslash wedge\backslash eta)\_p=\backslash omega\_p\backslash wedge\backslash eta\_p.$

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, d.h.
:$\backslash omega\backslash wedge\backslash eta=(-1)^\{\backslash deg\backslash omega\backslash cdot\backslash deg\backslash eta\}\backslash cdot\backslash eta\backslash wedge\backslash omega;$
dabei bezeichnet $\backslash deg\backslash omega$ den Grad von $\backslash omega$, d.h. ist $\backslash omega$ eine $k$-Form, so ist $\backslash deg\backslash omega=k$.

Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung $\backslash mathrm\; d\backslash omega$ einer $k$-Form $\backslash omega$ wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel
:$\backslash mathcal\; L\_X=i\_X\backslash circ\backslash mathrm\; d+\backslash mathrm\; d\backslash circ\; i\_X$
definiert; dabei ist $X$ ein Vektorfeld, $\backslash mathcal\; L\_X$ die Lie-Ableitung und $i\_X$ die Einsetzung von $X$.

Ist beispielsweise $\backslash omega$ eine 1-Form, so ist
:$(\backslash mathcal\; L\_X\backslash omega)(Y)=\backslash mathcal\; L\_X(\backslash omega(Y))-\backslash omega\; (\backslash mathcal\; L\_X(Y))=X\backslash omega(Y)-\backslash omega([X,Y])$
und
:$((\backslash mathrm\; d\backslash circ\; i\_X)\backslash omega)(Y)=(\backslash mathrm\; d(\backslash omega(X)))(Y)=Y\backslash omega(X),$
also
:$\backslash mathrm\; d\backslash omega(X,Y)=X\backslash omega(Y)-Y\backslash omega(X)-\backslash omega([X,Y])$
für Vektorfelder $X,Y$; dabei bezeichnet $[X,Y]$ die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet
:$\backslash mathrm\; d\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\_\{k+1\})=\backslash sum\_\{i=1\}^\{k+1\}(-1)^\{i+1\}\; X\_i\backslash omega(X\_1,...,\backslash hat\; X\_i,...,X\_k)+\{\}$
:::
dabei bedeutet $\backslash hat\; X\_i$, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:
* $\backslash mathrm\; d$ ist $\backslash mathbb\; R$-linear.
* $\backslash mathrm\; d(\backslash omega\backslash wedge\backslash eta)=\backslash mathrm\; d\backslash omega\backslash wedge\backslash eta+(-1)^\{\backslash deg\backslash omega\}\backslash omega\backslash wedge\backslash mathrm\; d\backslash eta;$ dabei bezeichnet $\backslash deg\backslash omega$ den Grad von $\backslash omega$, d.h. ist $\backslash omega$ eine $k$-Form, so ist $\backslash deg\backslash omega=k$.
* $\backslash mathrm\; d\backslash mathrm\; d\backslash omega=0$
* Für eine Funktion $f$, aufgefasst als 0-Form, stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.

Koordinatendarstellung

Ist $\backslash \{x\_1,\backslash ldots,x\_n\backslash \}$ ein Koordinatensystem auf $U$, so folgt aus den Eigenschaften der äußeren_Algebra, dass eine lokale Basis der $k$-Formen durch
:
gegeben ist, d.h. jede $k$-Form $\backslash omega$ hat eine eindeutige Darstellung der Form
:
mit geeigneten differenzierbaren Funktionen $a\_\{i\_1,\backslash ldots,i\_k\}$. An dieser Darstellung ist auch abzulesen, dass für $k>n$ die Nullform $\backslash omega=0$ die einzige $k$-Form ist.

Die äußere Ableitung ist in dieser Darstellung durch die Formel
:
gegeben.

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Relationen
:$\backslash mathrm\; dx\_i\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_j=-\backslash mathrm\; dx\_j\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_i$
und
:$\backslash mathrm\; dx\_i\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_i=0$
wichtig; beispielsweise ist für $n=2$
:$\backslash mathrm\; d(f\_1\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\_1+f\_2\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\_2)$
:$\{\}=\backslash mathrm\; df\_1\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_1+\backslash mathrm\; df\_2\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_2$
:$\{\}=\backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; x\_1\}\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\_1\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_1\; +\backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; x\_2\}\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\_2\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_1$
+\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2
+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_2
:$\{\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; f\_2\}\{\backslash partial\; x\_1\}-\backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; x\_2\}\backslash right)\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\_1\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_2.$

Für n=3 bilden die Koeffizienten der Differentialform bei analogem Vorgehen der rot (Rotations-) Vektor der Vektoranalysis.

Exakte und geschlossene Formen; de-Rham-Kohomologie

Eine $k$-Form $\backslash omega$ heißt geschlossen, wenn $\backslash mathrm\; d\backslash omega=0$ gilt; sie heißt exakt, wenn es eine $(k-1)$-Form $\backslash eta$ gibt, so dass $\backslash omega=\backslash mathrm\; d\backslash eta$ gilt. Aufgrund der Formel $\backslash mathrm\; d\backslash mathrm\; d\backslash eta=0$ ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist $\backslash \{V\_\backslash alpha\backslash \}$ eine offene Überdeckung von $U$, so ist eine $k$-Form $\backslash omega$ genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von $\backslash omega$ auf $V\_\backslash alpha$ für jedes $\backslash alpha$ geschlossen ist.

Der Faktorraum
:{geschlossene $k$-Formen auf $U$}/{exakte $k$-Formen auf $U$}
heißt $k$-te de-Rham-Kohomologiegruppe $\backslash mathrm\; H^k\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(U)$ (nach Georges de Rham). Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von $U$.

Das Poincaré-Lemma (nach Henri Poincaré) besagt, dass
:$\backslash mathrm\; H^k\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(\backslash mathbb\; R^n)=0$ für $k>0$
gilt, oder allgemeiner für zusammenziehbare offene Teilmengen des $\backslash mathbb\; R^n$. (Man beachte, dass $\backslash mathrm\; H^0\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(U)$ aus den lokal_konstanten_Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also $\backslash mathrm\; H^0\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(U)\backslash not=0$ für jedes $U\backslash not=\backslash varnothing$.)

Ist $\backslash omega$ geschlossen und $\backslash eta=\backslash mathrm\; d\backslash eta\text{'}$ exakt, so
folgt
:$\backslash omega\backslash wedge\backslash eta=\backslash omega\backslash wedge\backslash mathrm\; d\backslash eta\text{'}=(-1)^\{\backslash det\backslash omega\}\backslash mathrm\; d(\backslash omega\backslash wedge\backslash eta\text{'}),$
entsprechend falls $\backslash omega$ exakt und $\backslash eta$ geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen
:$\backslash mathrm\; H^k\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(U)\backslash times\; H^m\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(U)\backslash longrightarrow\backslash mathrm\; H^\{k+m\}\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(U).$

Siehe auch de-Rham-Kohomologie, Kokettenkomplex

Orientierung

Ist $n=\backslash dim\; U$, so heißt eine $n$-Form auf $U$, die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf $U$. $U$ zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung $\backslash omega$ definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: eine Basis $\backslash eta\_1,\backslash ldots,\backslash eta\_n$ des Kotangentialraums in einem Punkt $p$ sei positiv orientiert, wenn
:$\backslash omega\_p=a\backslash cdot\backslash eta\_1\backslash wedge\backslash ldots\backslash wedge\backslash eta\_n$
mit einer positiven Zahl $a$ gilt; eine Basis $X\_1,\backslash ldots,X\_n$ des Tangentialraums in einem Punkt $p$ sei positiv orientiert, wenn
:$\backslash omega(X\_1,\backslash ldots,X\_n)>0$
gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist $U$ zusammenhängend, so gibt es entweder bis auf Äquivalenz genau zwei oder gar keine Orientierungen.

$U$ heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von $U$ existiert.

Siehe auch Orientierung (Mathematik)

Integral von Differentialformen

Es sei wieder $n=\backslash dim\; U$, und wir nehmen an, auf $U$ sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral
:$\backslash int\_U\backslash omega$
für $n$-Formen $\backslash omega$. Ist $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$ eine offene Teilmenge, $x\_1,\backslash ldots,x\_n$ eine positiv orientierte Basis und
:$\backslash omega=f\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\_1\backslash wedge\backslash ldots\backslash wedge\backslash mathrm\; dx\_n,$
so ist
:$\backslash int\_U\backslash omega=\backslash int\_U\; f;$
das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral.

Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition unabhängig von Koordinatenwechseln ist.

Siehe auch Integral von Differentialformen

Satz von Stokes

Ist $M$ eine kompakte orientierte $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\backslash partial\; M$, und versieht man $\backslash partial\; M$ mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede $(n-1)$-Form $\backslash omega$
:$\backslash int\_M\backslash mathrm\; d\backslash omega=\backslash int\_\{\backslash partial\; M\}\backslash omega.$
Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Ist $M$ geschlossen, d.h. hat $M$ keinen Rand, so folgt
:$\backslash int\_M\backslash omega=0$
für jede exakte $n$-Form $\backslash omega$. Damit definiert das Integral eine Abbildung
:$\backslash mathrm\; H^n\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(M)\backslash to\backslash mathbb\; R.$
Ist $M$ zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus.

Siehe auch Satz von Stokes

Zurückziehen ("pull-back") von Differentialformen

Ist $f\backslash colon\; M\; \backslash to\; N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega^k(N)$ die mittels $f$ zurückgeholte Form
$f^*\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega^k(M)$ wie folgt definiert:
:$f^*\backslash omega(X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_k)\; :=\; \backslash omega(f\_*(X\_1),\; \backslash ldots,\; f\_*(X\_k))$
dabei sei $f\_*\backslash colon\; TM\; \backslash to\; TN$ die Ableitung von $f$. Mit den anderen Operationen ist das Zurückziehen verträglich, es gilt
:$f^*(\backslash mathrm\; d\backslash omega)\; =\; \backslash mathrm\; d(f^*\backslash omega)$
und
:$f^*(\backslash omega\; \backslash wedge\; \backslash eta)\; =\; f^*\backslash omega\; \backslash wedge\; f^*\backslash eta$
für alle $\backslash omega,\; \backslash eta\; \backslash in\; \backslash Omega^*(N)$.

Insbesondere induziert $f$ eine Abbildung
:$f^*\backslash colon\backslash mathrm\; H^k\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(N)\backslash longrightarrow\backslash mathrm\; H^k\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}(M).$

Duale Form und Stern-Operator

Betrachtet werden äußere Formen in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, so dass eine orthonormale Basis $e\_i$ des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad k in diesem n-dimensionalen Raum duale Form ist eine (n-k)-Form

:$*(e\_1\backslash wedge\; e\_2\backslash wedge\; ...\; \backslash wedge\; e\_k)=\; e\_\{k+1\}\backslash wedge\; e\_\{k+2\}\backslash wedge\; ...\; \backslash wedge\; e\_n.$

Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge) *-Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:

:$*\backslash mathrm\{d\}x=\backslash mathrm\{d\}y\backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}z$
:$*\backslash mathrm\{d\}y=\backslash mathrm\{d\}z\backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}x$
:$*\backslash mathrm\{d\}z=\backslash mathrm\{d\}x\backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}y$

mit den 1-Formen dx, dy dz. Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier (y,z), (x,y) und (z, x) ist (zyklische Verschiebungen in (x,y,z)).

Das *-Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum M gegeben ist, denn $\backslash alpha\; \backslash wedge\; *\backslash beta$ lässt sich für zwei k-Formen $\backslash alpha$ und $\backslash beta$ als Volumenform schreiben und das Integral

:$(\backslash alpha,\backslash beta)=\backslash int\_M\; \backslash alpha\backslash wedge\; *\backslash beta$

liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine k-Form wieder die k-Form ergibt, bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine k-Form in einem n-dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur s hat (s=+ 1 im euklidischen Raum, s= - 1 im Minkowski-Raum):

:$**\backslash alpha=(-1)^\{k(n-k)\}s\backslash ;\backslash alpha$

Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form $\backslash alpha$ die 2-Form $d\; \backslash wedge\; \backslash alpha$ ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diesen rot-Vektor kann man mit Hilfe des *-Operators nun auch formal direkt als 1-Form schreiben: $*\; d\; \backslash wedge\; \backslash alpha$. Analog wird der *-Operator zur ?Übersetzung? des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.

Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit M (mit Metrik $g\backslash alpha\backslash beta$ und Determinante der Metrik g, wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes gilt) lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:

:$\backslash mathrm\{d\}\backslash bold\{F\}\; =\; 2(\backslash partial\_\{\backslash gamma\}\; F\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; +\; \backslash partial\_\{\backslash beta\}\; F\_\{\backslash gamma\backslash alpha\}\; +\; \backslash partial\_\{\backslash alpha\}\; F\_\{\backslash beta\backslash gamma\})\backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash alpha\}\backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash beta\}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash gamma\}\; =\; 0$
(die so genannte Bianchi-Identität) und
:$\backslash mathrm\{d\}\; *\; \backslash bold\{F\}\; =\; \{F^\{\backslash alpha\backslash beta\}\}\_\{;\backslash alpha\}\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash epsilon\_\{\backslash beta\backslash gamma\backslash delta\backslash eta\}\backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash gamma\}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash delta\}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash eta\}\; =\; \backslash bold\{J\}$

mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form
:$\backslash bold\{F\}\; =\; F\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash alpha\}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash beta\}$
und dem Strom (geschrieben als 3-Form)
:$\backslash bold\{J\}\; =\; J^\{\backslash alpha\}\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash epsilon\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash delta\}\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash beta\}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash gamma\}\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x^\{\backslash delta\}$

Hierbei ist $\backslash epsilon\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash delta\}$ das Antisymmetrisierungs-Symbol (Levi-Civita-Symbol) und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indices summiert (Einstein-Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit c=1). Durch Anwendung des *-Operators kann man die zweite Maxwellgleichung auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass F und *F in der Elektrodynamik unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen haben duale Symmetrie.

Siehe auch

Differentielle_und_integrierte_Notation_physikalischer_Feldgleichungen
Keilprodukt und Graßmann-Algebra
Tensor

Literatur

* Shigeyuki Morita Geometry of differential forms, American Mathematical Society 2001, ISBN 0821810456 (viel Anschauung in diesem Buch)
*Harley Flanders Differential forms with applications to the physical sciences, Academic Press 1963

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