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Carleman-Ungleichung

Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Tage Gills Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer_Mittel einer Folge $(a\_k)\_k$ durch ein konstantes Vielfaches der Reihe $\backslash sum\; a\_k$ von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl $e$ die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Satz

Sei $(a\_k)\_k\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; a\_3,\; \backslash ldots\; )$ eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen.
Bezeichne $e$ die eulersche Zahl $e\; \backslash approx\; 2,71828\backslash ldots$. Dann gilt:
:$$
\sum_{k=1}^\infty \sqrt[k]{(a_1 a_2 \ldots a_k)} \leq e \cdot \sum_{k=1}^\infty a_k ~ \,
.
Dabei ist $e$ die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Beweis

Wegen $\backslash frac\{1\}\{n(n+1)\}=\backslash frac\{1\}\{n\}-\backslash frac\{1\}\{n+1\}$ ist $\backslash sum\_\{n=k\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n(n+1)\}$
=\frac{1}{k} \quad (Teleskopsumme)

und aus
=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1)^n} folgt

$\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; a\_k=\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{n=k\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n(n+1)\}\; k\backslash ,\; a\_k$
=\sum_{1\le k\le n}\frac{1}{n(n+1)} k\, a_k=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}\; \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k\, a_k und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

$\backslash ge\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n+1\}\; \backslash sqrt[n]\{\backslash prod\_\{k=1\}^n\; (k\backslash ,a\_k)\}$
=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}\ge\frac{1}{e}
\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \qquad \Box

Varianten

Für eine Funktion $f$ mit $f\; \backslash not\backslash equiv\; 0$ gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:
:$$
\int_0^\infty \exp\left( \frac{1}{x} \int_0^x \ln f(t) dt\right) dx < e \cdot \int_0^\infty f(x) dx \,
.

Literatur

• Harold Hardy], John Edensor Littlewood, George Polya, Inequalities, 2nd edition, Cambridge University Press, London, 1952, ISBN 0-521-35880-9

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