Carl Ludwig Siegel
Carl Ludwig Siegel (31. Dezember 1896 in Berlin; ? 4. April 1981 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker; sein Spezialgebiet war die Zahlentheorie. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.Leben
Siegel studierte ab 1915 in Berlin Astronomie, Physik und Mathematik, unter anderem bei Ferdinand Georg Frobenius und Max Planck. Unter dem Einfluss Frobenius' spezialisierte er sich auf Zahlentheorie. Nach dem Ersten Weltkrieg (er wurde 1917 einberufen, aber bald darauf als ?ungeeignet? entlassen) setzte er sein Studium 1919 in Göttingen fort und promovierte 1920 unter Edmund Landau mit der schon in Berlin als Viertsemester gefundenen Arbeit über die Approximation irrationaler Zahlen, die Thues Resultat verschärft. Bereits 1922 wurde er Professor in Frankfurt als Nachfolger von Arthur Moritz Schönflies. Siegel, dem der Nationalsozialismus zutiefst zuwider war, schloss Freundschaft mit den jüdischen Dozenten Ernst Hellinger und Max Dehn und setzte sich für die beiden ein. Diese Haltung machte Siegels Berufung als Nachfolger auf den Lehrstuhl von Constantin Carathéodory in München unmöglich.Freddy Litten: Die Carathéodory-Nachfolge in München 1938-1944)
In Frankfurt beteiligte er sich mit Dehn, Hellinger, Paul Epstein und anderen auch an einem Seminar zur Geschichte der Mathematik, dass auf höchstem Niveau betrieben wurde (grundsätzlich wurden die Originale gelesen). Siegel hat diese Zeit später in einem Aufsatz vor dem Vergessen bewahrt.
1938 kehrte Siegel nach Göttingen zurück, entschied sich aber 1940, nach Gastaufenthalten in Dänemark und Norwegen nicht mehr nach Deutschland zurückzukehren. Kurz vor der deutschen Besetzung Norwegens floh er mit einem Dampfer in die USA. Die Emigration wurde ihm durch die Tatsache erleichtert, dass er keine Familie hatte; er blieb Zeit seines Lebens unverheiratet.
Siegel lehrte und arbeitete von 1940-1951 am Institute for Advanced Study in Princeton, wo er schon 1935 war, und kehrte 1951 nach Göttingen zurück, wo er 1959 emeritiert wurde (danach hielt er aber noch einige Jahre Vorlesungen) und bis zu seinem Lebensende blieb.
Werk
Zahlentheorie
In seiner Dissertation 1920 verbesserte Siegel die Thue'sche Abschätzung zur Approximation algebraischer Zahlen durch rationale Zahlen erheblich, ein Ergebnis, das er schon als Student im 3. Semester gefunden hatte. Es wurde 1955 durch Klaus Friedrich Roth, der dafür die Fields-Medaille erhielt, nochmals (bestmöglich) verschärft (Satz von Thue-Siegel-Roth). Siegel wandte sein Ergebnis dann 1929 dafür an, sein berühmtestes Resultat zu erzielen, den Beweis, dass algebraische Gleichungen in ganzen Zahlen nur endlich viele Lösungen haben, sobald das Geschlecht g ? 1 ist. Quadratische Gleichungen (Geschlecht Null, entsprechend Sphäre) haben natürlich unendlich viele Lösungen, z. B. Pythagoräische Tripel. Der Siegels Satz entsprechende Satz für rationale Zahlen heisst Mordellvermutung bzw. nach Faltings Beweis ?Satz von Faltings?.
Siegel erweiterte die bis dahin sehr schwach ausgeprägte Theorie über transzendente Zahlen erheblich und entwickelte entsprechende Entscheidungskriterien dafür, wann eine Zahl transzendent, also nicht Lösung einer algebraischen Gleichung ist. Siegel führte neue Methoden ein, zuerst für den Beweis spezieller Werte der Lösungen von Differentialgleichungen 2.Ordnung, wie die Besselfunktionen. Gelfond und Schneider führten u.a. mit diesen Methoden später Transzendenzbeweise, die eines von Hilberts Problemen lösten.
Ferner forschte er zur Geometrie der Zahlen (im Sinne Minkowskis), der Theorie der Zetafunktion (er fand neue Ergebnisse Bernhard Riemanns in dessen Nachlass und erweiterte diese), bewies die Funktionalgleichung für die Dedekind-Zetafunktion in algebraischen Zahlkörpern, arbeitete zu quadratischen Formen und fand weitere Regeln zur Abschätzung von Lösungen diophantischer Gleichungen. In der additiven Zahlentheorie untersuchte er Probleme vom _Waring-Typ (maximale Anzahl k-ter Potenzen, die nötig sind zur Darstellung beliebiger natürlicher Zahlen als Summe dieser k-ten Potenzen) mit analytischen Methoden.
In seiner analytischen Theorie quadratischer Formen in mehreren Variablen bewies er seine berühmte analytische Klassenzahlformel für die Anzahl der Darstellungen einer Form durch eine andere: Auf deren einer Seite steht eine Art Thetafunktion, mit der Spur der Matrizen im Exponenten und Summation über Klassen-Repräsentanten; auf der anderen Seite der Gleichung steht eine Eisenstein-Reihe, also eine Modulform, wobei wieder über Klassenrepräsentanten summiert wird. Diese analytischen Gebilde liefern gleichzeitig zwei Arten, die Siegelschen Modulfunktionen einzuführen, damals um 1935 aufsehenerregend, da über Funktionentheorie in mehreren Variablen wenig bekannt war.
Siegel fand auch mit Richard Brauer ein Resultat über das asymptotische Verhalten der Klassenzahlen algebraischer Zahlkörper. Zusammen mit Hans Heilbronn bewies er, dass die Klassenzahlen imaginär quadratischer Zahlkörper (definiert durch Adjunktion der Wurzel von (-n) zu den rationalen Zahlen) für große n divergieren, was schon Gauss vermutete. Er rettete auch zusammen mit Harold Stark und Max Deuring den Beweis des Privatgelehrten Kurt Heegner (1952) für das ?Klassenzahl 1?-Problem imaginär quadratischer Zahlkörper von Gauss (also dass es keine weiteren solchen Zahlkörper außer den damals schon bekannten 7 gab), für den er Eigenschaften von Modulfunktionen benutzte. Anlass war der neue Beweis von Harold Stark in den 1960er Jahren, der zur erneuten Betrachtung des schwer verständlichen, seinerzeit bezweifelten Beweises von Heegner führte.
Funktionentheorie
Siegel untersuchte automorphe Funktionen mehrerer Variablen zunächst als Hilfsmittel für zahlentheoretische Fragestellungen, seine analytische Theorie quadratischer Formen 1935/7 in mehreren Variablen. Daraus entwickelte sich die Theorie der Siegelschen Modulformen, die bald eigener Forschungsgegenstand wurden. Er untersuchte auch die zugrundeliegenden diskontinuierlichen Gruppen und ihre Fundamentalbereiche, die die Theorie der Modulfunktion und ihrer Modulgruppe von Robert Fricke und Felix Klein verallgemeinern. Er fand auch neue Beziehungen zwischen diesen Funktionen und untersuchte ihre Fourierkoeffizienten (z. B. von Eisensteinreihen). In Zusammenhang mit der Theorie seiner Modulformen spricht Siegel in einigen Arbeiten von ?symplektischer Geometrie?, eine Bezeichnung, die heute anders verwendet wird.
Differentialgleichungen und Himmelsmechanik
Hier interessierte sich Siegel vor allem für Fragestellungen mit Bezug zur Himmelsmechanik, insbesondere zum Dreikörperproblem oder allgemeiner zum n-Körperproblem, Fragen der Regularisierung der singulären Bewegungsgleichungen (Stöße), der Existenz algebraischer Integrale der Bewegungsgleichungen (wobei er Arbeiten von Ernst Heinrich Bruns fortsetzte), der Mondtheorie (aufbauend auf George William Hill), der Existenz quasiregulärer Bahnen und ihrer Stabilität (in einfacheren analytischen dynamischen Systemen, Siegel-Scheiben), Konvergenzfragen der Störungsfunktion (?Problem der kleinen Nenner?), sowie der Normalformen Hamiltonscher Bewegungsgleichungen nahe Gleichgewichtspunkten (auf George David Birkhoff aufbauend).
Siegels Bild von der Mathematik
Wie kaum ein anderer Mathematiker des 20. Jahrhundert hat sich Siegel kritisch zur zunehmenden Abstrahierung und Axiomatisierung der Mathematik geäußert. Das Bourbaki-Projekt war aus seiner Sicht der Höhepunkt dieser katastrophalen Entwicklung. Vorbild waren für ihn die Klarheit von Gauß und Lagrange, sowie die Erforschung konkreter mathematischer Objekte.
Ehrungen
* Ehrendoktortitel der Universitäten Basel, Chicago, Frankfurt, Nancy, New York, Wien und Zürich
* Orden Pour_le_mérite_für_Wissenschaft_und_Künste 1963
* Großes Bundesverdienstkreuz mit Stern 1964
1978 war Siegel der erste Preisträger des Wolf-Preises für Mathematik.
Zitate, Anekdoten
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Siegel hatte einen teilweise schwierigen Charakter. Beispielsweise ?versenkte? er buchstäblich eine Doktorarbeit eines bekannten Mathematikers, die er begutachten sollte, auf der Ozean-Überfahrt nach Amerika, weil er der Lektüre überdrüssig war.
Literatur
von Siegel:
*Gesammelte Werke, 3 Bände, Springer 1966
*mit 85. Band Heft 4 der DMV (mit 3 Arbeiten über Siegels Leben und Werk)
• Siegel im MacTutor History of Mathematics archive
• Siegel Approximation algebraischer Zahlen, Mathematische Zeitschrift 1921, Dissertation
• Webseite Uni Göttingen mit Biographie und Erläuterungen z.B. zur Klassenzahlformel
