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Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium (üblicherweise in Luft) ausbreiten. Es ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls, die nicht mit der Schallschnelle v zu verwechseln ist. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).


Die Schallgeschwindigkeit wird in der Regel mit c = 343 m/s (1234,8 km/h) für 20 °C in Luft angegeben.

Für die Schallgeschwindigkeit c (für lat. celeritas = Geschwindigkeit) gilt die Formel
:$$
c = \lambda \cdot f \,
,

wobei ? (lambda) die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist.

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl in longitudinaler (hierbei ist die Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung) als auch in transversaler Richtung (hierbei ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $\backslash rho$, der Poissonzahl $\backslash mu$ und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Es gilt dabei
:$$
c_{\mathrm{Festk\ddot orper, longitudinal}} = \sqrt{E \, ( 1- \mu) \over \rho \, ( 1- \mu - 2 \mu^2) } \,


und

:$$
c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}} = \sqrt{E \over {2 \cdot \rho \, \cdot ( 1+ \mu)} } \,


sowie

:$$
c_{\mathrm{Festk\ddot orper, Oberflaeche}} \approx 0,9194 \cdot c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}} \,


Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann die Querkontraktion vernachlässigt werden und man erhält
:$$
c_{\mathrm{Festk\ddot orper (langer Stab), longitudinal}} = \sqrt{E \over \rho}
.

Für Transversalwellen muss der Elastizitätsmodul durch den Schubmodul $G$ ersetzt werden
:$$
c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}} = \sqrt{G \over \rho} \,
.

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu Festkörpern können sich in Flüssigkeiten nur Longitudinalwellen ausbreiten, da der Schubmodul für Flüssigkeiten gleich Null ist. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $\backslash rho$ und des Kompressionsmoduls $K$ der Flüssigkeit und berechnet sich aus
:$$
c_{\mathrm{Fl\ddot ussigkeit}} = \sqrt{K \over \rho} \,
.
Dies gilt nur im statischen Zustand einer Flüssigkeit. Sollte sich diese bewegen, so kommt es zu Laufzeitdifferenzen.

Die Auswirkungen dieser Gleichung können mit dem Cappuccino-Effekt demonstriert werden. Rührt man aufgeschäumte Milch in Kaffee und klopft dann mit dem Löffel mehrmals in kurzen Abständen auf den Boden der Tasse, verändert sich der Klang. Mit dem Unterrühren des Milchschaums werden die Klopfgeräusche zuerst tiefer und danach höher, da sich mit der zuerst im Schaum eingeschlossenen und dann langsam entweichenden Luft der Kompressionsmodul des Kaffees verändert.

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen

Die Schallgeschwindigkeit in _idealen_Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponent κ (kappa), der Dichte ? (rho) sowie dem Druck p des Gases oder alternativ nach der thermischen_Zustandsgleichung von der molaren_Masse M und der absoluten Temperatur T (gemessen in Kelvin) und berechnet sich aus
:$$
c_{\mathrm{Gas}} = \sqrt{ \kappa \frac{p}{\rho} } = \sqrt{ \kappa \frac{RT}{M} }
.
Der Adiabatenexponent ? (kappa) = c_p/c_V hängt auch für die meisten realen Gase über weite Temperaturbereiche nicht vom Druck p ab, die molare Masse ist eine materialspezifische und die universelle Gaskonstante R = 8,3145 J/(mol K) eine physikalische Konstante. Deshalb hängt die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Wurzel der (absoluten) Temperatur ab.

Für Luft erhält man mit M = 0,02896 kg/mol und ? = 1,402
:$$
c_{\mathrm{Luft}} \approx \sqrt{1{,}402 \frac{ 8{,}3145\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}} T } { 0{,}02896\,\mathrm{kg/mol} } }
= 20{,}055 \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{\frac{T}{\mathrm{K}}} \,


Geht man zur Temperatur $\backslash vartheta=T-273\{,\}15\backslash ,\backslash mathrm\{K\}$ in °C über, so ergibt sich weiter:
:$$
c_{\mathrm{Luft}} \approx 331{,}5 \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{ 1 + \frac{\vartheta/{}^\circ\mathrm{C}}{273{,}15} } \,


Mit dieser Gleichung beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 25 °C etwa 346 m/s. Allgemeiner bekannt ist der Wert c = 343 m/s für 20 °C (Raumtemperatur).

Statt der Wurzelabhängkeit wird häufig folgende lineare Näherungsformel verwendet:
:$$
c_{\mathrm{Luft}} \approx ( 331{,}5 + 0{,}6\,\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} ) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \,


Diese Näherung gilt im Temperaturbereich von -20°C bis +40°C mit einer Genauigkeit von besser als 0,2%.

Die Luftfeuchtigkeit beeinflusst geringfügig die Schallgeschwindigkeit. Sehr bedeutsam ist dagegen die Temperatur. Der Schall wandert innerhalb der Troposphäre langsamer mit steigender Höhe, was aber fast ausschließlich eine Funktion der Temperatur und nur in geringem Maße auch eine der Luftfeuchte ist. Siehe auch Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound, Journal of the Audio Engineering Society, 36(4), April 1988. [http://www.rane.com/pdf/eespeed.pdf PDF-Version]

Vergleiche hierzu die Normalbedingungen und die Standardbedingungen.
Normalerweise wird die Schallgeschwindigkeit unter Standardatmosphäre gemessen.


Bei einem idealen Gas ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig und unabhängig vom Luftdruck. Diese Abhängigkeit gilt daher auch für Luft, die in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden kann.

Der Faktor kappa kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung. Die gilt dann wenn bei einem Prozess die Temperatur nicht konstant bleibt (also nicht isotherm). Das ist bei einer Schallwelle der Fall. Die Luft wird in sehr kurzer Zeit komprimiert und expandiert wieder schnell. Die erhöhte Temperatur kann so schnell nicht abgeführt werden.
Anfänglich wurde der Fehler gemacht und ohne das kappa gerechnet. So entstand eine stark abweichende Schallgeschwindigkeit.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet.
Für alle Materialien angegeben ist die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Schallgeschwindigkeit longitudinal). Wo Werte bekannt sind, findet man zusätzlich die Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Schallgeschwindigkeit transversal); die dazu gehörende Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus.

:{/'> class="prettytable sortable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Medium || Schallgeschwindigkeit longitudinal
in (m/s) || Schallgeschwindigkeit transversal
in (m/s)
|-----
| Wasserstoff /'>| align="right" | 1280 || align="right" |  
|-----
| Wasser (bei 0 °C) /'>| align="right" | 1407 || align="right" |  
|-----
| Glas /'>| align="right" | 5300 || align="right" |  
|-----
| Beton (C30/37) /'>| align="right" | 3845 || align="right" | 2355
|-----
| Beryllium /'>| align="right" | 12900 || align="right" | 8880
|-----
| Kupfer /'>| align="right" | 4660 || align="right" | 2260
|-----
| Stahl /'>| align="right" | 5920 || align="right" | 3255
|-----
| Wolfram /'>| align="right" | 5460 || align="right" | 5460
|-----
| Diamant /'>| align="right" | 18000 || align="right" |  
|-----
| Luft nahezu ausschließlich von der Temperatur abhängig ist (s. oben).
Die Temperaturabhängigkeit ergibt sich durch sehr große Dichtegradienten und Geschwindigkeitsänderungen bei den erzeugten Wellen. Denn dadurch sind die Näherungen des hydrodynamischen Grundgesetzes nicht mehr erfüllt.

Somit ergibt sich beispielsweise folgende Tabelle für Luft mit c₀ = 331,5 m/s. Hierbei hat der Luftdruck keine Wirkung auf die Schallgeschwindigkeit, auch wenn diese Fehlangabe häufig zu finden ist.

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Wasser ist ein Beispiel eines dispersiven Mediums.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Luft ist ein nicht dispersives Medium.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt. Siehe auch: Überschallgeschwindigkeit, Überschallflug.

Die Entfernung eines Blitzeinschlags, und damit auch eines Gewitters lässt sich abschätzen, indem man nach dem Sehen des Blitzes bis zum Hören des Donners die Sekunden zählt. Die Anzahl der Sekunden durch drei geteilt ergibt (aufgrund einer abgerundeten Schallgeschwindigkeit von c = 333 m/s) ungefähr die Entfernung des Gewitters in Kilometern.

Siehe auch

• Luftdruck

Literatur

*' target='blank'>Götsch, Ernst - Luftfahrzeugtechnik, Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8

Weblinks

*[http://www.sengpielaudio.com/Rechner-schallgeschw.htm Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit der wichtigen Temperatur - ohne Luftdruck
• Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur und ... nicht der Luftdruck
• Berechnung von Wellenlänge, Frequenz und Schallgeschwindigkeit
• Berechnung der Wellenlänge einer Schallwelle in Luft bei gegebener Frequenz und Temperatur
• Gute Schallgrundlagenom:Speed of Sound

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