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Cantors zweites Diagonalargument

Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen_Zahlen überabzählbar ist. Der Mathematiker Georg Cantor fand ihn im Jahr 1877.

Mit seinem ersten_Diagonalargument zeigte Cantor, dass die Menge der rationalen_Zahlen abzählbar ist, er gab eine umkehrbar eindeutige Abbildung (eine Bijektion) zwischen der Menge der natürlichen_Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen an. Diese Abbildung erlaubt es anschaulich, alle rationalen Zahlen in eine unendlich lange Liste (eine Folge) untereinander zu schreiben.

Durch Widerspruch zeigte er, dass es für die reellen_Zahlen keine solche Liste gibt, d.h. keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen.

Im Gegensatz zur allgemeinen Meinung ist dieser Beweis nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus.

Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Sei $(z\_i)$ irgendeine Folge reeller Zahlen im halboffenen_Intervall $[0,1[$. Wir werden zeigen, dass es mindestens eine reelle Zahl in diesem Intervall gibt, die nicht in der Folge $(z\_i)$ vorkommt. Da diese Argumentation für jede beliebige Folge $(z\_i)$ gilt, kann es keine Folge geben, die alle reellen Zahlen im Intervall $[0,1[$ enthält.

Die Zahlen in dieser als gegeben vorausgesetzten Folge sehen in ihrer Dezimalbruch-Entwicklung so aus:

:$z\_1\; =\; 0,\; \backslash underline\{a\_\{11\}\}\; \backslash \; a\_\{12\}\; \backslash \; a\_\{13\}\; \backslash ldots$
:$z\_2\; =\; 0,\; a\_\{21\}\; \backslash \; \backslash underline\{a\_\{22\}\}\; \backslash \; a\_\{23\}\; \backslash ldots$
:$z\_3\; =\; 0,\; a\_\{31\}\; \backslash \; a\_\{32\}\; \backslash \; \backslash underline\{a\_\{33\}\}\; \backslash ldots$
:$z\_4\; =\; \backslash ldots$
:$\backslash vdots$

Hier sind die $z\_i$ reelle Zahlen und die $a\_\{ij\}$ Dezimalstellen dieser reellen Zahlen. Die Diagonalelemente sind hervorgehoben, aus diesen konstruieren wir eine neue Zahl
:$x\; =\; 0,\; x\_1\; x\_2\; x\_3\; \backslash ldots;\backslash qquad$

Jede Zahl $z\_i$ der Folge definiert auf folgende Weise eine Dezimalstelle $x\_i$ von $x$.
:Wenn $a\_\{11\}\; =\; 5$ ist, setzen wir $x\_1\; =\; 4$, sonst $x\_1\; =\; 5$. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass $x$ eine andere Zahl ist als $z\_1$.
:Wenn $a\_\{22\}\; =\; 5$ ist, setzen wir $x\_2\; =\; 4$, sonst $x\_2\; =\; 5$. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass $x$ eine andere Zahl ist als $z\_2$.
Allgemein legen wir für jede natürliche Zahl $i$ fest:
:Wenn $a\_\{ii\}\; =\; 5$ ist, setzen wir $x\_i\; =\; 4$, sonst $x\_i\; =\; 5$. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass $x$ eine andere Zahl ist als $z\_i$.
So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl $x$, die sich von allen Zahlen in der Folge unterscheidet, und die größer als 0 und kleiner als 1 ist. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge $(z\_i)$ zugeordnet wird.

Die Folge $(z\_i)$ enthält also nicht alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Wählt man eine andere Folge, erhält man möglicherweise eine andere Diagonalzahl, aber wir haben bewiesen: Für jede Folge von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es eine Zahl zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Folge enthalten ist. Deshalb enthält keine Folge alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das Intervall $[0,1[$ ist deshalb überabzählbar. Damit ist auch ganz $\backslash mathbb\{R\}$ überabzählbar.

Strenggenommen ist der Beweis noch dadurch zu komplettieren, dass man die Teilmengenbeziehung $\backslash mathbb\{N\}\; \backslash sub\; \backslash mathbb\{R\}$ erwähnt; zusammen mit der Nichtexistenz einer Bijektion von $\backslash mathbb\{N\}$ nach $\backslash mathbb\{R\}$ erhält man, dass $\backslash mathbb\{R\}$ eine größere Mächtigkeit als $\backslash mathbb\{N\}$ hat, also überabzählbar ist.

Bei diesem Beweis ist es egal, welches der Intervalle $[0,1[$, $[0,1]$, $]0,1]$ oder $]0,1[$ man verwendet, da durch die Regel eine Diagonalzahl $x$ mit erzeugt wird, die in jedem dieser Intervalle enthalten ist.

Standpunkt der Konstruktivisten

Auf Kritik gestoßen ist Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch das zweite Diagonalverfahren bei Leopold Kronecker, Hermann Weyl , L.E.J. Brouwer, Henri Poincaré und Ludwig Wittgenstein. - Konstruktivisten deuten das Cantorsche Diagonalverfahren anders als Cantor. Es wird selbst als Zahlenkonstruktionsverfahren verstanden. Die durch das Verfahren entdeckte Eigenschaft wird von konstruktiven Mathematikern als Offenheit (Paul Lorenzen) oder als Indefinitheit (Christian Thiel) der Mengen reeller Zahlen angesehen und nicht als die Überabzählbarkeit einer Menge.

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