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Burgers Gleichung

Die Burgers Gleichung ist eine einfache nichtlineare partielle Differentialgleichung die in verschiedenen Gebieten der angewandten
Mathematik auftritt. Die Gleichung ist nach dem niederländischen Physiker Johannes Martinus Burgers
benannt.

Die Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion von
zwei Variablen.

In allgemeiner Form sieht die Gleichung folgendermaßen aus (auch viskose B. Gleichung genannt)
:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; u\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; \backslash mu\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x^2\}$.
Dies ist offensichtlich äquivalent zu:
$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; u^2\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; \backslash mu\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x^2\}$

Der Parameter $\backslash mu\; >\; 0$ kann hier als Viskositätsparameter interpretiert werden.

Oft wird auch die obige Gleichung für den Fall $\backslash mu\; =\; 0$,
als Burgers Gleichung bezeichnet, manche Autoren nennen diesen Spezialfall
die unviskose Burgersgleichung (engl: inviscid Burgers equation):

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; u\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; 0$.
Bzw:
$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; u^2\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; 0$

Formal sind beide Darstellungen zwar äquivalent, in der Numerik zeigt sich aber, dass die Form mit $\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; u^2\}\{\backslash partial\; x\}$ vorteilhafter ist. Der Grund hierfür ist die "Erhaltungsform" der Differentialgleichung.Siehe dazu: Erhaltungsgleichung, Finite-Volumen-Verfahren

Anwendung

Die Burgers Gleichung ist das einfachste Beispiel einer nichtlinearen hyperbolischen Gleichung, und
wird daher oft als Testfall für numerische Algorithmen für diese Art von Gleichungen verwendet.

Sie kann auch als ein einfaches Modell einer eindimensionale Strömung gesehen werden. Als Beispiel
wird oft die Verkehrsdichte im Straßenverkehr genommen, deren zeitlicher Verlauf mit Hilfe der
Burgers Gleichung modelliert werden kann.

Die Interpretation einer eindimensionalen Strömung rührt von der Ähnlichkeit der Gleichung mit dem nichtlinearen Teil
der Navier-Stokes-Gleichung her.

Lösungen

Die unviskose Gleichung kann mit Hilfe der Methode der Charakteristiken gelöst werden. Allerdings hat die Gleichung nicht unbedingt eine eindeutige Lösung. Bei geeignet gewählten Anfangswerten können Schocks beobachtet werden.
Die viskose Gleichung motiviert dann auch für die Euler-Gleichungen den Begriff der Lösung mit verschwindender Viskosität. Jene ist diejenige Lösung der nichtviskosen Burgers Gleichung, die einer Lösung der viskosen Gleichung mit verschwindender Viskosität entspricht.

Für die viskose Burgers-Gleichung führt eine Hopf-Cole-Transformation zum Ziel.

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