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Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z.B. in der Linearen_Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Unschärferelation.

Allgemeiner Fall

Die Ungleichung sagt aus: Wenn $x$ und $y$ Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums_mit_innerem_Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. das innere Produkt
$\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle$ die Beziehung

:$\backslash left/\text{'}>\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; x,\; x\backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\backslash rangle$

Unter Verwendung der Winkel auf beliebige Räume_mit_innerem_Produkt verallgemeinert werden kann.

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzschen Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen_Unschärferelation verwendet.

Beweis der Ungleichung

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für $i=1,\backslash dots,n$ die Werte $\backslash xi\_i:=/\text{'}>x\_i|/\backslash sqrt\{\backslash sum\_j\; x\_j^2\}$ und $\backslash eta\_i:=|y\_i|/\backslash sqrt\{\backslash sum\_j\; y\_j^2\}$, so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

:$\backslash sum\_i\; \backslash xi\_i\backslash eta\_i\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash sqrt\{\backslash xi\_i^2\backslash eta\_i^2\}\; \backslash leq\; \backslash sum\_i\; (\backslash xi\_i^2/2\; +\; \backslash eta\_i^2/2)\; =\; 1$

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Skalarprodukts in einem Vektorraum_mit_innerem_Produkt ist aber simpel.

= Reeller Fall

=
Der Fall $y\; =\; 0$ ist einfach zu behandeln, es sei also $\backslash langle\; y,y\; \backslash rangle\backslash neq\; 0$. Für jedes $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ gilt

:$0\; \backslash leq\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x-\backslash lambda\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,y\; \backslash rangle$
= \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.

Wählt man nun speziell $\backslash lambda\; =\; \backslash frac\; \{\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\}\; \{\backslash langle\; y,y\; \backslash rangle\}\; =\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^\{-2\}$ so ergibt sich

:$0\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; ^2\; -\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle^2\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^\{-2\},$

also

:$\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle^2\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |^2\; \backslash |y\backslash |^2.$

Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

:$\backslash big|\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash big|\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; \backslash |y\backslash |.$

= Komplexer Fall

=
Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Linearform, sondern eine Hermitesche Form ist.
Für jedes $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$ gilt

:$0\; \backslash leq\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x-\backslash lambda\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,y\; \backslash rangle$
= \langle x,x \rangle -\overline{\lambda} \langle y,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle + \big|\lambda\big|^ 2\langle y,y \rangle.

Hier führt nun die spezielle Wahl $\backslash lambda\; =\; \backslash frac\; \{\backslash langle\; y,x\; \backslash rangle\}\; \{\backslash langle\; y,y\; \backslash rangle\}\; =\; \{\backslash langle\; y,x\; \backslash rangle\}\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^\{-2\}\; =\; \backslash overline\{\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\}\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^\{-2\}$ auf

:$0\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; ^2\; -\; \backslash big|\backslash langle\; y,x\; \backslash rangle\backslash big|^2\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^\{-2\},$

also

:$\backslash big|\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\backslash big|^2\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |^2\; \backslash |y\backslash |^2.$

Quellen

Literatur

* Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, in: Ders.: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheines der "linearen Ausdehnungslehre", Universität, Greifswald, 1995, S. 64-70

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