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Lokalisierung (Algebra)

In der Algebra ist die Lokalisation eine Methode, einem Ring R systematisch neue multiplikativ_inverse_Elemente hinzuzufügen. Möchte man, dass die Elemente einer Teilmenge S von R invertierbar werden, dann konstruiert man einen neuen Ring T und einen Ringhomomorphismus von R nach T, der S auf Einheiten von T abbildet. Die durch eine universelle Eigenschaft bestimmte "beste Wahl" von T schreibt man als $S^\{-1\}\; R$ und nennt sie die "Lokalisation von R bezüglich S".

Wortherkunft

Die Verwendung des Begriffs "Lokalisation" entspringt der algebraischen_Geometrie: Ist R ein Ring von reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem geometrischen Objekt (z.B. einer algebraischen_Varietät) und will man das Verhalten der Funktionen in der Nähe eines Punktes p untersuchen, dann wählt man für S die Menge der Funktionen, die bei p ungleich 0 sind und lokalisiert R bzgl. S. Die Lokalisation enthält dann nur noch Informationen über das Verhalten der Funktionen nahe bei p.

Definition

Da die Lokalisation eines nichtkommutativen Ringes ungleich schwieriger und nicht immer möglich ist, beschränken wir uns in diesem Artikel auf kommutative Ringe mit 1.

Sei also R ein kommutativer Ring mit 1 und S eine Teilmenge von R. Da das Produkt von Einheiten wieder eine Einheit ist, 1 eine Einheit ist, und wir die Elemente von S zu Einheiten machen wollen, können wir S vergrößern und die 1 und alle Produkte von Elementen von S zu S hinzufügen; wir nehmen also gleich an, dass S multiplikativ_abgeschlossen ist.

Lokalisation eines Integritätsbereichs

Im einfachsten Fall ist R ein Integritätsring. Hier unterscheiden wir, ob S die 0 enthält oder nicht.

Ist $0\; \backslash in\; S$, dann kommt für die Lokalisation nur der Nullring {0} in Frage, weil er der einzige Ring ist, in dem die 0 Einheit ist. Wir definieren also $S^\{-1\}\; R\; =\; \backslash \{0\backslash \}$, falls 0 in S liegt.

Ist 0 kein Element von S, dann betrachten wir den Quotientenkörper K von R. Der Teilring $S^\{-1\}R$ von K, der aus allen Brüchen besteht, deren Zähler in R und deren Nenner in S liegt, hat die gewünschten Eigenschaften: Die kanonische Einbettung von R in K ist ein Ringhomomorphismus, der sogar injektiv ist, und die Elemente von S sind invertierbar. Dieser Ring $S^\{-1\}R$ ist der kleinste Teilring von K, der R enthält und in dem die Elemente von S invertierbar sind.

Hier folgen einige Beispiele von Lokalisationen von Z bezüglich verschiedener Teilmengen S:
*Lokalisiert man Z bzgl. der Menge der ungeraden ganzen Zahlen, erhält man den Ring $\backslash mathbb\{Z\}\_\{(2)\}$ aller rationalen Zahlen mit ungeradem Nenner. Die Verwendung des "(2)" wird weiter unten erklärt.
*Lokalisiert man Z bzgl. der Menge der geraden Zahlen ohne die 0, erhält man ganz Q, weil sich jede rationale Zahl durch eventuelle Erweiterung mit 2 als Bruch mit geradem Nenner darstellen lässt.
*Lokalisiert man Z bzgl. der Menge der Zweierpotenzen, erhält man den Ring der Dualbrüche. Dies sind genau die rationalen Zahlen, deren Dualdarstellung nur endlich viele Nachkommastellen hat.

Lokalisation eines allgemeinen kommutativen Ringes

Für einen beliebigen kommutativen Ring R mit 1 haben wir keinen Quotientenkörper, wir konstruieren also einen neuen Ring, dessen Elemente wir als Brüche aufschreiben werden.

Die folgende Konstruktion liefert für Integritätsringe R einen Ring, der zu dem oben definierten Teilring des Quotientenkörpers isomorph ist.

Auf dem kartesischen_Produkt $R\; \backslash times\; S$ führen wir eine Äquivalenzrelation ein:
:$(r\_1,\; s\_1)\; \backslash sim\; (r\_2,\; s\_2)\; :\backslash Leftrightarrow\; \backslash exists\; t\; \backslash in\; S:\; t(r\_1\; s\_2\; -\; r\_2\; s\_1)\; =\; 0$
Die Äquivalenzklasse eines Paares $(r\_1,\; s\_1)$ schreiben wir als Bruch
:$\backslash frac\{r\_1\}\{s\_1\}\; :=\; [(r\_1,\; s\_1)]\; :=\; \backslash \{(r\_2,\; s\_2)\; \backslash in\; R\; \backslash times\; S\; :\; (r\_1,\; s\_1)\; \backslash sim\; (r\_2,\; s\_2)\backslash \}$

Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen werden analog zu den üblichen Bruchrechenregeln definiert:
:$\backslash frac\{r\_1\}\{s\_1\}\; +\; \backslash frac\{r\_2\}\{s\_2\}\; :=\; \backslash frac\{r\_1\; s\_2\; +\; r\_2\; s\_1\}\{s\_1\; s\_2\}$
:$\backslash frac\{r\_1\}\{s\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{r\_2\}\{s\_2\}\; :=\; \backslash frac\{r\_1\; r\_2\}\{s\_1\; s\_2\}$
Der in der Definition der Äquivalenzrelation auftretende Faktor t ist für die Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation (genauer: der Transitivität) nötig, falls der vorliegende Ring kein Integritätsbereich ist. Mit den so definierten Verknüpfungen erhalten wir einen Ring $S^\{-1\}R$, und die Abbildung
:$j:\; R\; \backslash to\; S^\{-1\}R,\backslash \; j(r)\; =\; \backslash frac\{r\}\{1\}$
ist ein (nicht notwendig injektiver) Ringhomomorphismus.

Universelle Eigenschaft

Die "beste Wahl" des Ringes $S^\{-1\}R$ und des Homomorphismus $j:\; R\; \backslash to\; S^\{-1\}R$ wird durch die Erfüllung einer universellen_Eigenschaft definiert:

:Ist R ein kommutativer Ring mit 1, S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R, $T$ ein Ring mit 1, $t:\; R\; \backslash to\; T$ ein Ringhomomorphismus, der jedes Element von S auf eine Einheit abbildet, dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus $g:\; S^\{-1\}R\; \backslash to\; T$ mit $t\; =\; g\; \backslash circ\; j$.

Die oben definierten Ringe erfüllen diese universelle Eigenschaft.

Häufige Arten der Lokalisation

Lokalisierung an einem Element

Indem man $S:=\backslash \{r^n|n\backslash in\backslash N\_0\backslash \}$ schreibt, lässt man alle Potenzen eines Elementes $r\backslash in\; R$ als Nenner zu. Gebräuchliche Schreibweisen dafür sind $R\_r$, $R\backslash left[\backslash frac1r\backslash right]$ oder $R[r^\{-1\}]$. Die erhaltene Lokalisierung ist kanonisch isomorph zu $R[X]/(rX-1)$.

Lokalisierung an einem Primideal

Wenn $\backslash mathfrak\{p\}\backslash in\backslash operatorname\{Spec\}(R)$ ein Primideal bezeichnet, so spricht man für $S:=R\backslash setminus\backslash mathfrak\{p\}$ von der ?Lokalisation bei $\backslash mathfrak\{p\}$?, geschrieben $R\_\backslash mathfrak\{p\}$. Der entstehende Ring ist lokal mit maximalem Ideal $R\_\backslash mathfrak\{p\}\backslash mathfrak\{p\}$, seine Primideale entsprechen den in $\backslash mathfrak\{p\}$ enthaltenen Primidealen. Genauer, bezeichnet $j\backslash colon\; R\backslash to\; R\_\backslash mathfrak\{p\}$ die Einbettung, so ist $\backslash operatorname\{Spec\}(R\_\backslash mathfrak\{p\})\backslash to\backslash \{\backslash mathfrak\{a\}\backslash in\backslash operatorname\{Spec\}(R)|\backslash mathfrak\{a\}\backslash subseteq\backslash mathfrak\{p\}\backslash \}$, $\backslash mathfrak\{b\}\backslash mapsto\; j^\{-1\}(\backslash mathfrak\{b\})$ eine inklusionserhaltende Bijektion. Der oben angegebene Ring $\backslash Z\_\{(p)\}$ für eine Primzahl $p$ ist ein Beispiel für diese Konstruktion.

Da $R/\backslash mathfrak\{p\}$ nullteilerfrei ist, kann man den Quotientenkörper bilden. Es gilt dann $\backslash operatorname\{Quot\}(R/\backslash mathfrak\{p\})\; \backslash cong\; R\_\backslash mathfrak\{p\}/R\_\backslash mathfrak\{p\}\backslash mathfrak\{p\}$.

Man kann die Lokalisation an einem Primideal auch noch wie folgt deuten: Fasst man Elemente von $R$ als Funktionen auf dem Spektrum von $R$ auf, deren Wert in einem Punkt $P$ das jeweilige Bild im Restklassenkörper $\backslash kappa(P)\; :=\; R\_\backslash mathfrak\{p\}/R\_\backslash mathfrak\{p\}\backslash mathfrak\{p\}$ ist, so ?besteht? der lokale Ring bei $P$ aus Brüchen, in deren Nenner Funktionen stehen, die bei $P$ nicht verschwinden, ?durch die man also lokal bei $P$ teilen darf?.

?Ganzabgeschlossen? ist eine lokale Eigenschaft, d.h. für einen nullteilerfreien Ring $R$ sind äquivalent:
* $R$ ist ganzabgeschlossen
* $R\_\backslash mathfrak\{p\}$ ist ganzabgeschlossen für alle Primideale $\backslash mathfrak\{p\}\backslash triangleleft\; R$
* $R\_\backslash mathfrak\{m\}$ ist ganzabgeschlossen für alle maximalen Ideale $\backslash mathfrak\{m\}\backslash triangleleft\; R$

Totalquotientenring

Der Totalquotientenring $Q$ eines Ringes $R$ ist die Lokalisierung von $R$ an der Menge der Nichtnullteiler von $R$. Er ist die ?stärkste? Lokalisierung, für die die Lokalisierungsabbildung
:$R\backslash to\; Q,\backslash quad\; r\backslash mapsto\; r/1$
injektiv ist. Ist $R$ ein Integritätsbereich, so ist der Totalquotientenring der Quotientenkörper von $R$.

Lokalisierung von Moduln

Ist R ein Ring, S eine multiplikative Teilmenge von R und M ein R-Modul, so ist die Lokalisierung von M bezüglich S definiert als die Menge S⁻¹M der Äquivalenzklassen von Paaren (m,s), auch geschrieben m/s, wobei zwei Paare (m₁,s₁), (m₂,s₂) äquivalent sein sollen, wenn es ein Element s von S gibt, so dass
:s(s₂m₁ − s₁m₂) = 0
gilt. S⁻¹M ist ein S⁻¹R-Modul.

Entsprechend zum Fall von Ringen schreibt man auch M_r oder M_P für Elemente r bzw. Primideale P von R.

Die Lokalisierung eines Moduls besitzt ebenfalls eine universelle Eigenschaft: Jeder Homomorphismus von M in einen Modul N, auf dem die Elemente von S invertierbar operieren, lässt sich auf eindeutige Weise zu einem Homomorphismus S⁻¹M → N fortsetzen. Dies bedeutet auch, dass man die Lokalisierung eines Moduls auch als Tensorprodukt beschreiben kann:
:$S^\{-1\}M=M\backslash otimes\_RS^\{-1\}R$.

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