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Wiener-Prozess

Standard-Wiener-Prozesse]]
Ein Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat. Benannt wurde der Prozess, der auch als Brownsche Bewegung bekannt ist, nach dem amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener.
Seit der Einführung der Stochastischen Analysis (stochastische Integration, stochastische Differentialgleichungen) durch It? Kiyoshi in den 40er-Jahren spielt der Wiener-Prozess die zentrale Rolle im Kalkül der zeitstetigen Stochastischen Prozesse und wird in zahllosen Gebieten der Natur- und Wirtschaftswissenschaften als Grundlage zur Simulation zufälliger Entwicklungen herangezogen.

Definition

Ein stochastischer Prozess $(W\_t)\_\{t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\_\{+\}\}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (?,F,P), der adaptiert an die Filtrierung $(\backslash mathcal\{F\}\_t)\_\{t\backslash in\backslash mathbb\{R\}\_\{+\}\}$ ist, heißt (Standard-)Wiener-Prozess, wenn die vier folgenden Bedingungen gelten:
* $W\_0=0$ P-fast_sicher.
* Für gegebenes $s\backslash geq0$ sind alle $W\_\{t\}-W\_\{s\}$ mit $t>s$ stochastisch_unabhängige $\backslash mathcal\{F\}\_s$-Zufallsvariablen. Der Wiener-Prozess hat also unabhängige Zuwächse.
* . Die Zuwächse sind also stationär und normalverteilt.
* Die einzelnen Pfade sind (P-)fast sicher stetig.

Umgekehrt lässt sich ein Wiener-Prozess W_t nach Lévy durch folgende drei Eigenschaften charakterisieren:
* $W\_t$ ist adaptiert und hat stetige Pfade
* $W\_t$ ist ein Martingal
* $\{W\_t\}^2-t$ ist ein Martingal

Eigenschaften

Einordnung

* Der Wiener-Prozess zählt zur Familie der Markow-Prozesse und dort speziell zur Klasse der Lévy-Prozesse.
* Der Wiener-Prozess ist ein spezieller Gauß-Prozess mit Erwartungswertfunktion $E(W\_t)=0$ und Kovarianzfunktion $Cov(W\_s,W\_t)=min(s,t)$.
* Für die bedingte_Erwartung gilt: $E(W\_t|W\_s)=W\_s$ für
* Der Wiener-Prozess ist ein Lévy-Prozess mit stetigen Pfaden und konstantem Erwartungswert.

Eigenschaften der Pfade

* Die Pfade eines Wiener-Prozesses sind fast sicher an keiner Stelle differenzierbar und fast sicher nicht rektifizierbar.
* Die Pfade haben in jedem Intervall $[s,t]\; \backslash subset\; \backslash R\_\{+\}$ fast sicher unendliche Variation.
* Für die quadratische_Variation gilt fast sicher .
* Über Asymptotik im Unendlichen und um den Nullpunkt geben die Gesetze des iterierten Logarithmus Auskunft.

Selbstähnlichkeiten

* Auch das Negative eines Standard-Wiener-Prozesses, also $(-W\_t),\; \backslash ;t\backslash ge0,$ ist ein Standard-Wiener-Prozess; Allgemeiner gilt auch das Reflexionsprinzip: Ein ab einer beliebigen Stoppzeit gespiegelter Wiener-Prozess ist wieder ein Wiener-Prozess.
* Der Wiener-Prozess ist selbstähnlich unter Streckung der Zeitachse, d.h. $X\_t=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash alpha\}\}\; \backslash cdot\; W\_\{\backslash alpha\; \backslash cdot\; t\}$ ist für jedes $\backslash alpha\; >\; 0$ ein Standard-Wiener-Prozess.
* Inversion der Zeitachse: auch $X\_t=t\; W\_\{\backslash frac\{1\}\{t\}\}$ ist ein Standard-Wiener-Prozess
* Verschiebung der Zeitachse: für jedes deterministische $s\backslash ge\; 0$ ist der stochastische Prozess $X\_t=W\_\{t+s\}-W\_s$ ebenfalls ein Wiener-Prozess; hier werden die Zuwächse vom Zeitpunkt $s$ an betrachtet (d.h. W erfüllt die schwache Markow-Eigenschaft).

Verallgemeinerter Wiener-Prozess

Ist $(W\_t)$ ein Standard-Wiener-Prozess, so nennt man den stochastischen Prozess
:$X\_t=\; \backslash mu\; t\; +\backslash sigma\; W\_t$

Brownsche Bewegung mit Drift $\backslash mu$ und Volatilität $\backslash sigma$. Damit lassen sich auch stochastische Prozesse darstellen, die tendenziell eher fallen () oder tendenziell eher steigen ($\backslash mu>0$). Dabei gilt

$X\_t\; -X\_s\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}\backslash left(\backslash mu\; (t-s),\; \backslash sigma^2\; \backslash left(t-s\backslash right)\; \backslash right)$.

Auch allgemeine Wiener-Prozesse sind Markow- und Lévy-Prozesse, aber die Martingaleigenschaft gilt nur noch in abgeschwächter Form:

Ist , so ist $X\_t$ ein Supermartingal, ist $\backslash mu>0$, so ist $X\_t$ ein Submartingal. Für $\backslash mu=0$ ist $X\_t$ ein Martingal.

Der mehrdimensionale Fall

Ein mehrdimensionaler stochastischer Prozess $W\_t=\; (W\_\{1,t\},\; W\_\{2,t\},\backslash ldots\; W\_\{n,t\})^T,\; \backslash ;\; t\backslash ge\; 0$ heißt n-dimensionaler (standard-)Wiener-Prozess oder n-dimensionale Brownsche Bewegung, falls die Koordinaten $(W\_\{i,t\})$ unabhängige (Standard-)Wiener-Prozesse sind. Die Zuwächse $W\_\{i,t\}-W\_\{i,s\}$ sind dann ebenfalls unabhängig und $\backslash mathcal\{N\}(0,(t-s)I\_n)$-verteilt (n-dimensionale Normalverteilung), wobei $I\_n$ die Einheitsmatrix der Dimension n ist.

Der n-dimensionale Wiener-Prozess hat eine besonders schöne Eigenschaft, die ihn von den meisten anderen mehrdimensionalen Prozessen abhebt und die ihn für die Modellierung des Brownschen Partikels prädestiniert: Er ist invariant unter Drehungen der Koordinatenachsen. Das bedeutet, dass für jede orthogonale Matrix $Q\; \backslash in\; \backslash mathbb\; \{R\}^\{n\; \backslash times\; n\}$ der gedrehte (oder gespiegelte) Prozess $X\_t:=QW\_t,\; \backslash ;\; t\backslash ge\; 0$ genau dieselbe Verteilung wie $W\_t$ besitzt.

Genau wie die eindimensionale Brownsche Bewegung kann man nun auch die n-dimensionale verallgemeinern: für jeden Vektor $\backslash mu\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$ und jede Matrix $A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{n\; \backslash times\; n\}$ wird durch

:$X\_t\; :=\; \backslash mu\; t\; +\; A\; W\_t,\; \backslash ;\; t\; \backslash ge\; 0$

eine Brownsche Bewegung mit Drift $\backslash mu$ und Varianz $AA^T$ definiert. Dementsprechend gilt $X\_t\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu\; t,\; t\; AA^T)$. Hierbei können die einzelnen Koordinaten also auch miteinender korreliert sein.

Zusammenhang zu anderen stochastischen Prozessen

* Ist $(X\_t),\backslash ;\; t\backslash ge\; 0$ eine geometrische Brownsche Bewegung, so ist $W\_t\; :=\; \backslash ln(X\_t)$ eine Brownsche Bewegung (mit Drift). Andererseits kann man aus jedem Wiener-Prozess $(X\_t),\backslash ;\; t\backslash ge\; 0$ mit Drift ? und Volatilität ? durch $Y\_t:=e^\{X\_t-\backslash frac\{\backslash sigma^2\; t\}\{2\}\}$ eine geometrische Brownsche Bewegung gewinnen.
* Mit Hilfe des stochastischen Integralbegriffes von Itô lässt sich der Wiener-Prozess zum It?-Prozess verallgemeinern.
* Der symmetrische Random Walk kann als zeitdiskretes Pendant zum Wiener-Prozess angesehen werden, denn es gilt der folgende Konvergenzsatz: ist für $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ der Random Walk $(R\_t),\; \backslash ;\; t\backslash in\; T$ auf dem diskreten Zeitgitter $T=\; \backslash left\backslash \{\; 0,\; \backslash frac\{1\}\{n\},\; \backslash frac\{2\}\{n\},\; \backslash ldots\; \backslash right\backslash \}$ so definiert, dass $R\_0=0$ gilt und R sich in jedem Zeitschritt mit Wahrscheinlichkeit ½ um $\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n\}\}$ nach oben und mit Wahrscheinlichkeit ½ um $\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n\}\}$ nach unten bewegt, so konvergiert R für $n\; \backslash to\; \backslash infty$ gegen einen standard-Wiener-Prozess (Invarianzprinzip von Donsker).
* Ist $(W\_t),\backslash ;\; t\backslash ge\; 0$ ein standard-Wiener-Prozess und $T\; >\; 0$, so ist $B\_t:=W\_t-\backslash frac\{t\}\{T\}W\_T\; ,\backslash \; 0\backslash leq\; t\backslash leq\; T$ eine Brownsche Brücke.

Geschichte des Wiener-Prozesses

1827 beobachtete der schottische Botaniker Robert_Brown unter dem Mikroskop, wie Pflanzenpollen sich in einem Wassertropfen unregelmäßig hin- und herbewegten (daher der Name Brownsche Bewegung). Doch es waren nicht Naturwissenschaftler, die die Entwicklung des mathematischen Modells vorantrieben: 1880 beschrieb der Statistiker und Astronom Thorvald Nicolai Thiele (1838-1910) in Kopenhagen erstmals einen solchen "Prozess" (die Theorie der stochastischen Prozesse war damals allerdings noch nicht entwickelt), als er wirtschaftliche Zeitreihen und die Verteilung von Residuen bei der Methode der kleinsten Quadrate studierte.1900 griff der französische Mathematiker Louis Bachelier (1870-1946), ein Schüler Poincarés, Thieles Idee auf, als er versuchte, die Kursbewegungen an der Pariser Börse zu analysieren. Beide Ansätze hatten letztendlich nur geringen Einfluss auf die zukünftige Entwicklung des Prozesses, zum Teil wohl aus dem Grunde, dass Finanzmathematik zu diesem Zeitpunkt eine untergeordnete Rolle in der Mathematik jener Zeit spielte. Heute jedoch gilt gerade die Finanzmathematik als Hauptanwendungsgebiet von Wiener-Prozessen. Dennoch bevorzugte zum Beispiel der Stochastiker William Feller die Bezeichnung Bachelier-Wiener-Prozess.

Der Durchbruch kam 1905, als Albert Einstein in seinem annus mirabilis den Wiener-Prozess in seiner heutigen Gestalt definierte - offenbar ohne Kenntnis von Bacheliers Arbeiten. Seine Motivation war es, die Bewegung der brownschen Partikel durch die molekulare Struktur des Wassers zu erklären (ein Ansatz, der damals äußerst kontrovers war, heute aber unbestritten ist) und diese Erklärung mathematisch zu untermauern. Interessanterweise forderte er dabei eine weitere, physikalisch sinnvolle Eigenschaft, die Rektifizierbarkeit der Zufallspfade, für sein Modell nicht. Obwohl dies bedeutet, dass die Partikel in jeder Sekunde eine unendlich lange Strecke zurücklegen (was das gesamte Modell theoretisch disqualifiziert), bedeutete der einsteinsche Ansatz den Durchbruch sowohl für die molekulare Theorie, als auch für den stochastischen Prozess.Einen Beweis für die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz des Prozesses blieb Einstein allerdings schuldig. Dieser gelang erst 1923 dem US-Amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener, der dabei neue Hilfsmittel von Lebesgue und Borel auf dem Gebiet der Maßtheorie ausnutzen konnte. Dennoch war sein Beweis so lang und kompliziert, dass ihn wohl nur eine handvoll Zeitgenossen verstehen konnten. Von It? Kiyoshi ist überliefert, dass er einige seiner größten Fortschritte bei der Entwicklung des stochastischen Integrals bei dem Versuch erreichte, Wieners Arbeit nachzuvollziehen.

Letztendlich war es auch It?, der dem Wiener-Prozess den Weg von der Physik in andere Wissenschaften ebnete: durch die von ihm aufgestellten stochastischen_Differentialgleichungen konnte man die Brownsche Bewegung an mehr statistische Probleme anpassen. Bacheliers Ansatz scheiterte letztendlich daran, dass der Wiener-Prozess, unabhängig von seinem Startwert, im Laufe der Zeit fast sicher einmal negative Werte erreicht, was für Aktien unmöglich ist. Doch die durch eine stochastische Differentialgleichung abgeleitete geometrische Brownsche Bewegung löst dieses Problem und gilt seit der Entwicklung des berühmten Black-Scholes-Modells als Standard. Heute werden in praktisch allen Natur- und vielen Sozialwissenschaften brownsche Bewegungen und verwandte Prozesse als Hilfsmittel verwendet.

Simulation von Brownschen Pfaden

Um mit Hilfe von Zufallszahlen Pfade eines Wiener-Prozesses zu simulieren, stehen einem verschiedene Methoden zur verfügung, die allesamt auf verschiedenen Eigenschaften des Prozesses aufbauen:

Einfacher Random Walk

Die einfachste Möglichkeit besteht darin, die oben erwähnte Konvergenz des einfachen Random_Walk gegen einen Wiener-Prozess auszunutzen. Dazu muss man lediglich Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen $B\_1,B\_2,B\_3\; \backslash ldots$ simulieren, die untereinander unabhängig sind und jeweils mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit die Werte 1 und -1 annehmen. Dann kann man zu einer vorgegebenen Schrittweite $\backslash Delta\; t\; \backslash ge\; 0$ einen Wiener-Prozess an den Stellen $0,\; \backslash ;\backslash Delta\; t,\backslash ;\; 2\backslash Delta\; t,\backslash ;\; 3\backslash Delta\; t\; \backslash ldots$ durch
:$W\_\{n\backslash Delta\; t\}\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\backslash Delta\; t\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; B\_i$ approximieren.
Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass nur sehr einfach herzustellende bernoulli-verteilte Zufallsvariablen benötigt werden. Allerdings handelt es sich nur um eine Approximation: Das Resultat ist kein Gauß-Prozess, sondern hat quasi binomialverteilte Zustände (genauer gesagt ist $\backslash sum\_\{i=1\}^n\; B\_i\; +\; n$ binomial(n,0.5)-verteilt). Um die Normalverteilung hinreichend gut anzunähern, muss $\backslash Delta\; t$ deshalb sehr klein gewählt werden. Diese Methode ist deshalb nur zu empfehlen, wenn man den Prozess ohnehin auf einem sehr feinen Zeitgitter simulieren möchte.

Gaußscher Random Walk

Die folgende Methode ist dem einfachen Random Walk überlegen (sofern kein besonders feines Zeitgitter benötigt wird), da sie den Prozess exakt simuliert (d.h. die resultierenden Zustände stimmen in_Verteilung mit denen eines Wiener-Prozesses überein):
::$W\_\{n\backslash Delta\; t\}\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\backslash Delta\; t\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\; Z\_i$,

wobei $Z\_1,\; \backslash ;\; Z\_2,\; \backslash ;\; Z\_3\backslash ldots$ unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind (beispielsweise erzeugt durch die Polar-Methode von Marsaglia). Diese als Gaußscher Random Walk bezeichnete Diskretisierung ist nur dann von Nachteil, wenn die vorhandenen normalverteilten Zufallsvariablen nicht von gleichmäßiger "Qualität" sind. Wenn zum Beispiel Quasi-Zufallszahlen verwendet werden, weisen spät auftretende Zahlen bisweilen Abhängigkeitsstrukturen auf, die das Ergebnis verzerren können. In einem solchen Fall ist eine der folgenden Methoden vorzuziehen:

Brownsche Brücke

thumb|400px|Die_ersten_fünf_Halbierungsschritte_der_Brownschen_Brücke._Die_jeweis_neu_simulierte_Iteration_ist_rot_eingezeichnet
Diese Methode (die nur am Rande etwas mit dem gleichnamigen stochastischen Prozess zu tun hat) nutzt die Kovarianzstruktur des Wiener-Prozesses aus und legt ein höheres Gewicht auf frühe standardnormalverteilte Zufallsvariablen $Z\_1,\; Z\_2,\; \backslash ldots$.

Hier wird zuerst $W\_1$, welches normalverteilt mit Varianz 1 ist, durch $W\_1\; =\; Z\_1$ simuliert. Nun wird das Intervall [0,1] schrittweise halbiert und folgender Schritt wiederholt:

$W\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}$ ergibt sich als arithmetisches_Mittel $\backslash frac\{1\}\{2\}(W\_0+W\_1)$ plus eine weitere Normalverteilte Zufallsvariable, um die Varianz zu korrigieren. Also:
:$W\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(W\_0+W\_1)+\backslash frac\{1\}\{2\}Z\_2$. Analog:
:$W\_\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(W\_0+W\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\})+\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{8\}\}Z\_3,\; \backslash ;W\_\{\backslash frac\{3\}\{4\}\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(W\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}+W\_1)+\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{8\}\}Z\_4$ und so weiter. Die Faktoren $\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{8\}\},\backslash ;\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash ldots$ verringern sich dabei in jedem Halbierungsschritt um den Faktor $\backslash sqrt\{2\}$ und sorgen dafür, dass die Zustände die richtige Varianz erhalten.

Um einen Wiener-Prozess statt auf [0,1] auf ein beliebiges Intervall [0,a] auszuweiten, kann man nun die oben beschriebene Transformation $X\_t=\backslash sqrt\{a\}\; W\_\{\backslash frac\{t\}\{a\}\}$ anwenden; X ist dann ein Wiener-Prozess auf [0,a].

Spektralzerlegung

Bei der Spektralzerlegung wird der Wiener-Prozess in einer Art stochastischer Fourieranalyse als trigonometrische_Polynome mit zufälligen Koeffizienten approximiert. Sind $Z\_0,\; \backslash ;Z\_1,\backslash ;\; Z\_2\backslash ldots$ unabhängig und standardnormalverteilt, so konvergiert die Reihe $S(t)\; =\; Z\_0\; \backslash cdot\; t\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; Z\_k\; ~\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sin(k\; \backslash pi\; t)\}\{k\; \backslash pi\}$ gegen einen Wiener-Prozess. Diese Methode konvergiert zwar mit maximaler Geschwindigkeit (bezüglich der $\backslash mathcal\{L\}^2$-Norm), beinhaltet aber im Gegensatz zur brownschen Brücke viele aufwändige trigonometrische Funktionsauswertungen, weshalb sie, vor allem in der Monte-Carlo-Simulation, weniger oft Anwendung findet.

Geometrie

Die ein- und zwei-dimensionale Brownsche Bewegung ist rekurrent, in allen höheren Dimensionen ist sie transient. (Pólya: ?Ein betrunkener Mann findet immer heim, ein betrunkener Vogel nicht.?)
Siehe auch Markow-Kette.

Literatur

* Andrei N. Borodin, Paavo Salminen: Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae, Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 3-7643-6705-9
* Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus (Graduate Texts in Mathematics), Springer, New York 1997, ISBN 0-3879-7655-8
* Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, Springer Berlin 2003, ISBN 3-540-04758-1
* Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4
* John Michael Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, New York 2000, ISBN 0-387-95016-8

siehe auch

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, Brownsche Brücke, Stochastische Differentialgleichung, Wurzel-Diffusionsprozess, geometrische Brownsche Bewegung

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