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Fixpunktsatz von Brouwer

Der Fixpunktsatz von Brouwer ist eine Aussage aus der Mathematik. Er ist benannt nach dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt, dass die Vollkugel $D^n$ die Fixpunkteigenschaft hat, also jede stetige Abbildung $f$ der $n$-dimensionalen Vollkugel in die $n$-dimensionale Vollkugel einen Fixpunkt besitzt. In Formeln:
:$\backslash forall\; f\; \backslash in\; C(D^\{n\},D^\{n\}):\; \backslash exists\; x\; \backslash in\; D^n\; :\; f(x)\; =\; x$

Der Satz bietet also eine Existenzaussage für die Lösung reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme.

Beweisidee

Mittels des Approximationssatzes_von_Stone-Weierstraß kann man sich auf $C^1$-Funktionen beschränken.
Nun nimmt man an, $f$ habe keinen Fixpunkt, also müsste die glatte Abbildung $F:\; D^n\backslash to\; S^\{n-1\}$, die jedem Punkt in der Vollkugel einen
Schnittpunkt der Gerade durch $x$ und $f(x)$ mit der Sphäre zuordnet:
:$F(x):=x\; +\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{1-|x|^2\; +\; \backslash left\backslash langle\; x,\backslash frac\{x-f(x)\}\; \backslash right\backslash rangle^2\; \}\; -\; \backslash left\backslash langle\; x,\; \backslash frac\{x-f(x)\}\; \backslash right\backslash rangle\; \backslash right)\; \backslash frac\{x-f(x)\}$
wohldefiniert sein. $F$ ist eine Retraktion, d.h. $F(x)=x$ für $x\backslash in\; S^\{n-1\}.$

Dies führt man auf einen Widerspruch,indem man zunächst zeigt, dass für $\backslash omega^\{n-1\}:=\; F^1\backslash ,\; dF^2\backslash wedge\backslash cdots\backslash wedge\; dF^n$ gilt: $d\backslash omega^\{n-1\}\; =\; 0$. Dies sieht man leicht ein, da die Determinante der Jacobi-Matrix von F nach dem Satz von der inversen Funktion 0 sein muss.

Also gilt:
:$0\; =\; \backslash int\_\{D^n\}\; \backslash mathrm\; d\backslash omega^\{n-1\}\; =\; \backslash int\_\{S^\{n-1\}\}\; \backslash omega^\{n-1\}$

nach dem Satz von Stokes. Auf der Sphäre ist $F$ aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):
:$=\; \backslash int\_\{S^\{n-1\}\}\; x\_1\; dx^2\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; dx^n\; =\; vol\; (D^n)\; \backslash neq\; 0$.

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