Brachistochrone
, Mannheim)]]Die Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit) ist die schnellste Verbindung zweier Punkte durch eine Bahn, auf der ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft reibungsfrei hinabgleitet. Dabei liegt ein Punkt tiefer als der andere, aber nicht senkrecht unter dem anderen. Der Tiefpunkt der Bahn kann tiefer liegen als beide Punkte.
Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d.h. von jedem Punkt der Kurve benötigt man die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.
Form
Das Spiegelbild der Brachistochrone bezüglich der x-Achse ist eine Zykloide.
Geschichte
Johann Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone. Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung.
Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selber wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wettgemacht.
Funktion
Die Brachistochrone lässt sich mittels Parameterdarstellung beschreiben, d. h. man kann einzelne Punkte mit einem Ortsvektor darstellen. Die Formeln für die x- und y-Koordinaten sind dann:
:
:
wobei r den Radius des abgerollten Kreises bezeichnet und t die Laufvariable (im Bogenmaß).
Hilfreich für das Verstehen des Problems: Der Winkel ?Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt? im Bogenmaß entspricht der bereits abgerollten Strecke. Die Laufvariable läuft von 0 bis .
Das Brachistochronen-Problem lässt sich mit Hilfe des Lagrange-Formalismus lösen.
Weblinks
*http://home.ural.ru/~iagsoft/BrachJ2.html
*http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html
*http://did.mat.uni-bayreuth.de/wassermann/Java/example2.html JAVA Animation zur Entstehung einer Brachistochrone
