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Brückenschaltung

Eine Brückenschaltung oder H-Schaltung (auch H-Brücke) bezeichnet eine elektrische Schaltung, bei der in der Grundform fünf Zweipole in Form des Großbuchstabens H zusammengeschaltet sind. Die Querverbindung heißt Brückenzweig.

Prinzip

Eine Brückenschaltung aus Widerständen kann man als Parallelschaltung zweier Spannungsteiler interpretieren, zwischen deren Ausgangsklemmen der Brückenzweig liegt. Der Vorteil der Brückenschaltung gegenüber einem einzelnen Spannungsteiler besteht darin, dass man die Spannung und den Strom im Brückenzweig je nach Einstellung der Widerstände nicht nur in der Höhe sondern auch in der Polarität verändern kann.

Berechnung

Eine Brückenschaltung kann am besten durch die Kirchhoffschen_Regeln beschrieben werden. Dazu stellt man zuerst die Knoten- und Maschengleichungen auf. Optional kann man die daraus hergeleiteten Zusammenhänge auch in einer Matrixgleichung darstellen. Eine besondere Herausforderung ist hierbei die Berechnung des Gesammtschaltungswiderstandes wie dies später erläutert wird.

Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen

Beim Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen gehen wir in diesem Beispiel von der Annahme aus, dass die Ströme in Richtung des Spannungspfeils fließen. Ist diese Annahme für einen Strom falsch, so ergibt sich für den Betrag des jeweiligen Stromes ein negatives Vorzeichen, wodurch sich jedoch nicht die Gültigkeit der Gleichungen ändert. Aus den Kirchoffschen Regeln resultieren schließlich die folgenden Knotengleichungen:
:$+I\_0+I\_1+I\_3=0$
:$-I\_0-I\_2-I\_4=0$
:$-I\_1+I\_2-I\_5=0$
:$-I\_3+I\_4+I\_5=0$
Durch die Maschenregel erhält man die folgenden Gleichungen:
:$-U\_0+U\_1+U\_2=0$
:$+U\_0-U\_1-U\_4+U\_5=0$
:$+U\_0-U\_2-U\_3-U\_5=0$
:$-U\_0+U\_3+U\_4=0$
:$+U\_1+U\_2-U\_3-U\_4=0$
:$-U\_1+U\_3+U\_5=0$
:$+U\_2-U\_4+U\_5=0$
Hierbei sind die Gleichungen nicht vollständig linear_unabhängig, weshalb man eine Gleichung weglassen kann.

Zusätzlich gilt für die einzelnen Widerstände der Zusammenhang
:$\backslash left\backslash \{\; U\_n=R\_n\backslash ,I\_n\; \backslash left|\; n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash land\; n\; \backslash in\; \backslash left[\; 0,5\; \backslash right]\; \backslash right.\backslash right\backslash \}$
oder ausgeschrieben:
:$U\_0=R\_0\backslash ,I\_0\backslash qquad\; U\_1=R\_1\backslash ,I\_1\backslash qquad\; U\_2=R\_2\backslash ,I\_2$
:$U\_3=R\_3\backslash ,I\_3\backslash qquad\; U\_4=R\_4\backslash ,I\_4\backslash qquad\; U\_5=R\_5\backslash ,I\_5$
Hierbei stellt der Widerstand $R\_0$ den Widerstand der Schaltung aus der Sicht der Spannungsquelle dar.

Matrixdarstellung der Knoten- und Maschengleichungen

Die Matrixdarstellung ist eine Hilfe bei großen Gleichungssystemen und daher insbesondere bei großen Schaltungen. Um die Matrixdarstellung zu ermitteln setzt man für die einzelnen Spannungen das jeweilige Produkt aus Widerstand und Strom ein. Daraus erhält man:
:$$
\begin{pmatrix}
1& 1& 0& 1& 0& 0\\
1& 1& 0& 1& 0& 0\\
0& 1&-1& 0& 0& 1\\
0& 0& 0&-1& 1& 1
\\-R_0& R_1& R_2& 0 & 0 & 0
\\ R_0&-R_1& 0 & 0 &-R_4& R_5
\\ R_0& 0 &-R_2&-R_3& 0 &-R_5
\\-R_0& 0 & 0 & R_3& R_4& 0
\\ 0 & R_1& R_2&-R_3&-R_4& 0
\\ 0 &-R_1& 0 & R_3& 0 & R_5
\\ 0 & 0 & R_2& 0 &-R_4& R_5
\end{pmatrix}
\,
\begin{pmatrix}I_0\\I_1\\I_2\\I_3\\I_4\\I_5\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0\\
-U_0&U_1&U_2&0&0&0\\
U_0&-U_1&0&0&-U_4&U_5\\
U_0&0&-U_2&-U_3&0&-U_5\\
-U_0&0&0&U_3&U_4&0\\
0&U_1&U_2&-U_3&-U_4&0\\
0&-U_1&0&U_3&0&U_5\\
0&0&U_2&0&-U_4&U_5
\end{pmatrix}
Dies sieht vereinfacht wie folgt aus:
:$\backslash mathbf\{R\}\backslash ,\backslash mathbf\{I\}=\backslash mathbf\{U\}$
was bedeutet, dass mit der Matrixgleichung im Wesentlichen das Ohmsche_Gesetz ausgedrückt wird.

Die Matrixdarstellung wird bevorzugt zur Verwendung in Computer-Algebra-Systemen oder in Schaltungssimulatoren verwendet, da etwa mit dem Gauß- und dem Gauß-Jordan-Algorithmus, sowie der Cramér'schen_Regel, effiziente Lösungsalgorithmen existieren. Im gegebenen Beispiel ist die Cramer'sche Regel jedoch nur auf eine Teilmatrix anwendbar, da die Determinante der rechten Matrix aufgrund der oberen vier Reihen immer Null sein würde.

Berechnung des Schaltungswiderstandes

Die Berechnung von $R\_0$ kann anhand der über die Kirchoffschen Regeln aufgestellten Beziehungen erzielt werden. Eine schnellere Variante stellt die folgende Vorgehensweise dar:
#Zuerst wird $R\_5=\backslash infty$ angenommen, wodurch eine Unterbrechnung entsteht. Dadurch ergibt sich die Gleichung:
#:$R\text{'}\_\backslash infty=\backslash left(R\_1+R\_2\backslash right)\backslash |\backslash left(R\_3+R\_4\backslash right)$
#Anschließend wird $R\_5=0$ gesetzt und dadurch kurzgeschlossen. Dadurch erhält man die Gleichung:
#:$R\text{'}\_0=R\_2\backslash |R\_4+R\_1\backslash |R\_3$
#Nun ermittelt man den Widerstand aus Sicht von $R\_5$, wobei die Spannungsquelle unendlich gesetzt wird:
#:$R\text{'}\_5=\backslash left(R\_2+R\_4\backslash right)\backslash |\backslash left(R\_1+R\_3\backslash right)$
#Dies kann man in die folgende Gleichung einsetzen, welche vorab mit Hilfe der durch die Kirchhoffschen Regeln ermittelten Formeln und Vereinfachung ermittelt wurde:
#:$R\_0=\backslash frac\{R\text{'}\_0\}\{1+\backslash frac\{R\_5\}\{R\text{'}\_5\}\}\; +\; \backslash frac\{R\text{'}\_\backslash infty\}\{1+\backslash frac\{R\text{'}\_5\}\{R\_5\}\}$

Abgleichbedingung

Eine Brückenschaltung wird als abgeglichen bezeichnet, wenn $I\_5=0$ und damit kein Strom des einen Brückenzweigs in den anderen fließt. Ist dies der Fall, gilt
:$I\_L\; =\; I\_1\; =\; I\_2;\backslash quad\; I\_R\; =\; I\_3\; =\; I\_4$.
Daraus folgt der Zusammenhang
:$\backslash frac\{U\_1\}\{U\_2\}=\backslash frac\{U\_3\}\{U\_4\}$
\Leftrightarrow \frac{U_2}{U_1}=\frac{U_4}{U_3}
\Leftrightarrow\frac{I_L\,R_1}{I_L\,R_2}=\frac{I_R\,R_3}{I_R\,R_4}
\Leftrightarrow\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}
\Leftrightarrow R_1\,R_4 = R_2\,R_3.

Anwendungen

Die Brückenschaltung dient unter anderem als Grundlage für folgende Schaltungen:

Energietechnik bzw. Leistungselektronik

* Der Brückengleichrichter wandelt Wechselstrom in Gleichstrom um.
* Schaltbrücken (Vollbrücke, Halbbrücke) werden in Schaltnetzteilen, Motorsteuerungen und Frequenzumrichtern verwendet.
Vierquadrantensteller
* Audio-Verstärker können als Halbbrücke oder Vollbrücke ausgebildet sein

Messtechnik

* Die Wheatstonesche Messbrücke dient zur Bestimmung mittlerer Impedanzen.
* Die Thomson-Brücke ist zur Messung kleiner Impedanzen geeignet.
* Mit der Maxwell-Brücke können Induktivitäten mit Kapazitäten verglichen werden.
* Die Wien-Robinson-Brücke dient zur Frequenzmessung.
* Die Schering-Brücke wird zur Bestimmung der Kapazität und des Verlustfaktors von Kondensatoren, vorwiegend in der Hochspannungstechnik, eingesetzt.
* Eine Quadraturbrücke erlaubt den Vergleich von Wirk- und Scheinwiderständen.

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