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Boxscher M-Test

Der Boxsche M-Test ist ein Verfahren aus der mathematischen_Statistik. Er wird in den multivariaten_Verfahren angewendet.

Es sind p viele Zufallsvektoren X_k (k = 1, ... , p)mit jeweils m Komponenten X_j gegeben. Die Vektoren sind alle mit einem Erwartungswertvektor ?_k und einer Kovarianzmatrix ?_k verteilt.

Die Hypothese soll geprüft werden, dass alle Kovarianzmatrizen gleich sind, also

:$H\_o:\; \backslash underline\; \backslash Sigma\_1\; =\; \backslash underline\; \backslash Sigma\_2\; =\; ...\; =\; \backslash underline\; \backslash Sigma\_p.$

Die Prüfgröße für den Test ist das so genannte M von Box,

:$M=\; \backslash gamma\; \backslash sum\; \_\{k=1\}^p(n\_k\; -\; 1)\; \backslash cdot\; \backslash log|\backslash underline\; S\_k^\{-1\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\; S|$


wobei

:$\backslash gamma\; =1-\; \backslash frac\; \{2m^2\; +\; 3m-1\}\; \{6\; \backslash cdot\; (m\; +\; 1)\; \backslash cdot\; (p-1)\}\; (\backslash sum\; \_\{k=1\}^p\; \backslash frac\; \{1\}\; \{n\_k\; -1\}\; -\; \backslash frac\; \{1\}\; \{n-p\}\; )$

als Korrektur dient. Die Kovarianzmatrix S_k wird geschätzt mit den Komponenten

:$s\_\{rj\}\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{n\_k-1\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\_k\}\; (x\_\{ir\}-\; \backslash bar\; x\_r)\; (x\_\{ij\}-\; \backslash bar\; x\_j)$


und die gepoolte, also mittlere, Kovarianzmatrix durch

:$\backslash underline\; S=\backslash frac\; \{1\}\{n-p\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^p\; (n\_k\; -\; 1)\; \backslash cdot\; \backslash underline\; S\_k\; .$


Bei jeweils genügend großem n_k ist die Prüfgröße annähernd ?²-verteilt mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden. Wenn die S_k sich insgesamt sehr von S unterscheiden, wird der Wert der Prüfgröße hoch. H_o wird also beim Signifikanzniveau ? abgelehnt, wenn M größer ist als das 1-?-Quantil der ?²-Verteilung mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden.

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