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Borel-Cantelli-Lemma

Das Borel-Cantelli-Lemma (nach Emile Borel und Francesco Cantelli) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist oftmals sehr hilfreich bei der Untersuchung auf fast_sichere_Konvergenz von Zufallsvariablen.

Es sei $(A\_n)\_\{n\; \backslash in\; N\}$ eine unendliche Folge zufälliger Ereignisse. Dann besagt das Borel-Cantelli-Lemma:

Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der $A\_n$ endlich,
so ist die Wahrscheinlichkeit des limes_superior der $A\_n$ gleich 0. Dies ist der ?klassische? Satz von Borel-Cantelli.

Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der $A\_n$ unendlich und sind die Ereignisse $A\_n$ wenigstens paarweise unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der $A\_n$ gleich 1. Diese Erweiterung stammt von Paul Erd?s und Alfred Renyi.

Symbolisch: Für
::$A\; =\; \backslash limsup\; A\_n\; =\; \backslash bigcap\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash bigcup\_\{i=n\}^\{\backslash infty\}A\_i\; =$
\{A_n \rm{\,\,unendlich\,\, oft} \}
::$=\; \backslash \{\; \backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega:\; \backslash omega\; \backslash in\; A\_n\; \backslash rm\{\backslash ,\backslash ,f\backslash ddot\{u\}r\backslash ,\backslash ,\; unendlich\backslash ,\backslash ,\; viele\backslash ,\backslash ,\}\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash \}$

gilt:

#
#$\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; P(A\_n)\; =\; \backslash infty$ und die $A\_n$ sind paarweise unabhängig $\backslash Rightarrow\; P(A)=1$

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