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Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zurecht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.

Bonferroni war eigentlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, er benutzt sie aber, um
einen statistischen_Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen jedoch sicher schon vor ihm bekannt gewesen.

Die erste der folgende Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden diese Ungleichung aber auch einfach ohne Namensbezug genannt.

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien $E\_i$ beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum $\backslash Omega$. Dann gilt:
:$$
\Pr\left( \bigcup_{i=1}^nE_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \Pr\left(E_i\right)
.
Es gilt auch allgemeiner:
:$$
\Pr\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i \right) \leq \sum_{i=1}^\infty \Pr\left(E_i\right)

Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.

Beweis

Zum Beweis der ersten Variante genügt eine vollständige Induktion nach $n$.
Der Induktionsanfang ergibt sich unmittelbar aus
:$$
\Pr \left( E_1 \cup E_2 \right)
= \frac
= \frac

:$$
\leq \frac
= \frac + \frac
= \Pr \left( E_1 \right) + \Pr \left( E_2 \right)
.

Sei für den Induktionsschritt
$$
\Pr\left( \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n-1} \Pr\left(E_i\right)

vorausgesetzt.
Es folgt dann die Behauptung vermöge:
:$$
\Pr\left( \bigcup_{i=1}^{n}E_i \right)
= \Pr\left( E_n \cup \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i \right)
\leq \Pr\left( E_n \right) + \Pr \left( \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i \right)

:$$
\leq \Pr\left( E_n \right) + \sum_{i=1}^{n-1} \Pr\left(E_i\right)
= \sum_{i=1}^{n} \Pr\left(E_i\right)
.

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder $E\_i$ beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum $\backslash Omega$. Ferner bezeichne $\backslash overline\{E\_i\}\; =\; \backslash Omega\; \backslash setminus\; E\_i$ das Komplement von $E\_i$. Dann folgt:
:$$
\Pr\left(\bigcap_{i=1}^nE_i\right) \geq 1-\sum_{i=1}^nPr\left(\overline{E_i}\right)

Beweis

Zunächst beobachtet man, dass stets $\backslash overline\{\backslash bigcap\_\{i=1\}^nE\_i\}\; =\; \backslash bigcup\_\{i=1\}^\{n\}\backslash overline\{E\_i\}$ gilt. Der Beweis ergibt sich dann sofort, indem man in die erste Ungleichung $\backslash overline\{E\_i\}$ statt $E\_i$ einsetzt und die komplementäre Wahrscheinlichkeit bildet.

Beispiele

* Sei $\backslash Omega=\backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}$ die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne $E\_1=\backslash \{2,4,6\backslash \}$ das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfen und $E\_2=\backslash \{5,6\backslash \}$ das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfen. Offensichtlich gilt $\backslash Pr(E\_1)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ und $\backslash Pr(E\_2)\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln
:$$
\Pr \left( E_1 \cup E_2 \right)
\leq \Pr \left( E_1 \right) + \Pr \left( E_2 \right)
= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .


* Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln
:$$
\Pr \left( E_1 \cap E_2 \right)
\geq 1 - \Pr \left( \overline{E_1} \right) - \Pr \left( \overline{E_2} \right)
= 1 - (1-\frac{1}{2}) - (1-\frac{1}{3}) = - \frac{1}{6}

:Das Ergebnis liefert also keine brauchbare Aussage, da jede Wahrscheinlichkeit ohnehin größer oder gleich Null ist. Für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln folgt jedoch
:$$
\Pr \left( E_1 \cap \overline{E_2} \right)
\geq 1 - \Pr \left( \overline{E_1} \right) - \Pr \left( E_2 \right)
= 1 - (1-\frac{1}{2}) - (1-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} .

Literatur

* Janos Galambos & Italo Simonelli, Bonferroni-type Inequalities with Applications, Springer-Verlag, 1996.
* Klaus Dohmen, Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes - Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type, Springer-Verlag, 2003.
* Ulrich Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 7. Auflage, Vieweg Verlag, 2003.

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