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Wendepunkt

thumb|Wendepunkt
Ein Wendepunkt $W\backslash left(x\_W|f(x\_W)\backslash right)$ ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.
Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der Stelle $x\_W$ liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion $f$ an der Stelle $x\_W$ ein relatives_Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion $f$ ableiten.

Die Tangente durch einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt (Im Bild rot).

Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten

Voraussetzungen:

1. $f$ ist bei $x\_W$ zweimal differenzierbar

2. $x\_W$ ist Wendestelle

$f$(x_W)=0 \,

Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

Die Funktion $f$ sei in einer Umgebung von $x\_W$ dreimal differenzierbar. Falls gilt $f$(x_W)=0 \wedge f(x_W) \neq 0, so ist $x\_W$ Wendestelle. Wenn $f$ > 0, dann ist $x\_W$ Rechts-Links-Wendestelle und wenn $f$ < 0, dann ist $x\_W$ Links-Rechts-Wendestelle.

Falls die erste Ableitung an der Stelle $x\_W$ existiert und die zweite Ableitungsfunktion $f$(x) an der Stelle $x\_W$ das Vorzeichen wechselt, so ist $x\_W$ ein Wendepunkt. Wenn $f\; \text{'}(x\_W)$ an $x\_W$ vom Positiven in das Negative wechselt, so ist $x\_W$ eine Links-Rechts-Wendestelle oder wenn $f\; \text{'}(x\_W)$ vom Negativen in das Positive wechselt, so ist $x\_W$ Rechts-Links-Wendestelle.

Ein Spezialfall der Wendestelle ist der Sattelpunkt.

Beispiel

:$\{\; f(x)\; \}\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; 3\; \}\; \backslash cdot\; x^3\; -\; 2\; \backslash cdot\; x^2\; +\; 3\; \backslash cdot\; x$

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion:

:$\{f$(x)} = {2 \cdot x - 4}

Dann muss
:$\{f$(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4}
gesetzt werden.
Das Ergebnis ist x=2.
Zugleich ist

:$\{f$(x)} = 2 \,

und daher ungleich 0, also handelt es sich um einen Wendepunkt.

Siehe auch'': Kurvendiskussion

Besondere Fälle

1. $\{\; f(x)\; \}\; =\; (x-2)\backslash cdot\; e^$

Der Graph dieser Funktion ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).

Dennoch hat die Funktion bei x=0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert.
Der Graph von f' hat daher für x=0 kein Extremum.

2. $\{\; f(x)\; \}\; =\; x\; \backslash cdot|x|$

Diese Funktion besitzt in x=0 einen Wendepunkt, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert.

Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion f ' bei x=0 ein Minimum.

Weblinks

• "Wendepunkte bestimmen" im Online-Mathematikbuch
• Wendepunkt und Sattelpunkt

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