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Fensterfunktion

Der Begriff Fensterfunktion stammt aus der digitalen_Signalverarbeitung. Die Fensterfunktion legt fest, mit welcher Gewichtung die bei der Abtastung eines Signalausschnitts gewonnenen Abtastwerte in nachfolgende Berechnungen, insbesondere eine Frequenzanalyse mittels diskreter_Fourier-Transformation, eingehen.

Ein andauerndes Signal wird in der Regel in Blöcken verarbeitet. Da Blocklängen in der Praxis endlich sind, kommt es zum sogenannten Leck-Effekt (Leakage Effect), wenn nicht die Blocklänge gerade ein Vielfaches der Periode des Signals ist. Das errechnete Spektrum wird zu breit, es ist bildlich gesprochen "verschmiert". Dieser Effekt resultiert aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation (Multiplikation von Signalen führt zu Faltung im Frequenzraum).

Durch die Verwendung einer geeigneten Fensterfunktion lässt sich der Effekt vermindern, aber nicht ganz vermeiden. Das Signal wird hierbei meistens am Fensterbeginn "eingeblendet" und am Fensterende "ausgeblendet", was zu einer künstlichen Periodisierung des Signals innerhalb der Zeitfensterlänge führt.

Die Fensterfunktionen beeinflusst neben der spektralen Verbreiterung außerdem die Frequenzselektivität und den maximal möglichen spektralen Fehler. Es gibt verschiedene Fensterfunktionen unterschiedlicher Komplexität. Die Auswahl einer passenden Fensterfunktion ist daher stets ein Kompromiss, der den speziellen Anforderungen des jeweiligen Anwendungsfalls Rechnung trägt.

Rechteck-Fenster

Die Rechteckfunktion ist im gesamten Fensterbereich 1 und außerhalb 0.

Auswirkung

Für eine cos-Funktion würde man im Spektrum der Fouriertransformation erwarten, dass bei der Frequenz $f\_0$ bzw. $-f\_0$ die Amplitude aufgetragen ist. Durch die Eigenschaft des Fensters wird aber das transformierte Spektrum mit der sinc-Funktion
:$\backslash mathrm\{sinc\}(x)\; =\; \backslash mathrm\{si\}(x)\; :=\; \backslash begin\{cases\}$
\frac{\sin (x)}{x} & \mbox{falls } x \ne 0 \\
1 & \mbox{falls } x = 0 \,
\end{cases}

gefaltet. Dieses entspricht einer Tiefpassfilterung (vgl. Leck-Effekt). Nur für eine Fensterbreite
:$T\; =\; k\; \backslash frac\{1\}\{f\_0\}$
erhält man das erwartete Spektrum.

Hamming-Fenster

Funktion:
:$$
w(n) = 0{,}54 + 0{,}46 \cdot \cos\left(\frac{2\pi n}{M}\right), \; n=-\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2} \,


dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals. Diese Fensterfunktion ist benannt nach Richard Hamming.

von-Hann-Fenster

Funktion:
:$$
w(n)=\frac{1}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi n}{M}\right)\right], \; n=-\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2} \,


dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

Die Bezeichnung Hann-Fenster stammt aus der Publikation "Particular Pairs of Windows." von R. B. Blackman und John W. Tukey (veröffentlicht in "The Measurement of Power Spectra, From the Point of View of Communications Engineering", New York: Dover, 1959, pp. 98-99), die dieses nach Julius_von_Hann benannt haben.
Aus diesem Artikel stammt auch die weit verbreitete Bezeichnung Hanning-Fenster, wobei dort jedoch lediglich die Anwendung des Hann-Fensters als "hanning" (abgeleitet von "to hann") bezeichnet wird.

Blackman-Fenster (3-Term)

:$$
w(n) = 0{,}42 - 0{,}5 \cdot \cos \left( \frac{2 n \pi}{M} \right) + 0{,}08 \cdot \cos \left( \frac{4 n \pi}{M} \right), \; n = 0, \ldots, M \,


dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

Bartlett-Fenster

Funktion:
:$$
w(n)=1-\left|\frac{2n-M}{M}\right|, \; n=0, \ldots, M \,


dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

Welch-Fenster

Funktion:
:$$
w(n)=1-\left[\frac{2n-M}{M}\right]^2, \; n=0, \ldots, M \,


dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

Kaiser-Fenster

Funktion:
:$$
w(n)=\frac{I_0\left(\pi \alpha\left[1-\left(\frac{2n}{M}\right)^2\right]^\frac{1}{2}\right)}{I_0\left(\pi \alpha\right)}, \; n=-\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2} \,


Dabei ist $I\_0$ die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung, $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals und $\backslash alpha$ ein reeller Faktor, mit dem die minimale Sperrdämpfung festgelegt wird.

Vergleich der Fensterfunktionen

Vergleich der Auswirkungen im Frequenzbereich

Verbreiterung des Hauptmaximums führt zu schnellerem Abfall der Nebenmaxima. Exemplarisch an Rechteck- und Hamming-Fenster gezeigt.

Siehe auch

Apodisation

Literatur

*Frederic J. Harris, On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform, Proceedings of the IEEE, Vol.66, No.1, January 1978, pp 51-83.

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