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Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen_Lehrsatz
:$(1+x)^\backslash alpha\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{\backslash alpha\; \backslash choose\; k\}\; x^k$
auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist $\backslash alpha$ ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied $k\; =\; \backslash alpha$ ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges $\backslash alpha$ liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von $(1+x)^\backslash alpha$ mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Newton entdeckt im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\backslash alpha$ und alle reellen $x\backslash in\; ]-1,\backslash ,1[$ das Binom $(1+x)^\{\backslash alpha\}$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\backslash alpha,\; x\backslash in\backslash Bbb\; C$; er bewies den Konvergenzradius 1 für die Reihe, falls $\backslash alpha\backslash in\backslash Bbb\; C\backslash setminus\backslash Bbb\; N$ gilt.

Beispiele

:$(1+x)^2\; =\; \{2\; \backslash choose\; 0\}x^0\; +\; \{2\; \backslash choose\; 1\}\; x^1\; +\; \{2\; \backslash choose\; 2\}\; x^2$
= 1 + 2x + x^2
:(ein Spezialfall der ersten binomischen_Formel)
:$\backslash frac\{1\}\{1+x\}\; =\; (1+x)^\{-1\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{-1\; \backslash choose\; k\}\; x^k$
= \sum_{k=0}^\infty (-x)^k
:$\backslash sqrt\{1+x\}\; =\; (1+x)^\{1/2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{1/2\; \backslash choose\; k\}\; x^k$

Siehe auch

Arithmetische Reihe
Geometrische Reihe
Binomialkoeffizient

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