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Binomische Formel

Die Binomischen Formeln sind in der elementaren_Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern, zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (die Faktorisierung), was bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt.

Die Formeln gelten in allen kommutativen_Ringen.

Die Bezeichnung binomisch deutet nicht auf einen Mathematiker hin, sondern erklärt sich aus der Bedeutung von bi (zwei) und Nomen (Namen) (vgl. Binom). Gleichwohl taucht ein gewisser Alessandro Binomi in einigen Publikationen scherzhafterweise als ihr Urheber auf.

Formeln

Allgemein:

:$(a\; +\; b)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash binom\; n\; k\; a^\{n-k\}\; \backslash cdot\; b^k$ , $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ (Anwendung_der_Formel)

Speziell:
:

Die Gültigkeit der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:
: $(a+b)^2=(a+b)\backslash cdot(a+b)=a\; \backslash cdot\; a+a\; \backslash cdot\; b+b\; \backslash cdot\; a+b\; \backslash cdot\; b=a^2+2\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; b+b^2$
: $(a-b)^2=(a-b)\; \backslash cdot\; (a-b)=a\; \backslash cdot\; a-a\; \backslash cdot\; b-b\; \backslash cdot\; a+b\; \backslash cdot\; b=a^2-2\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; b+b^2$
: $(a+b)\; \backslash cdot\; (a-b)=a\; \backslash cdot\; a-a\; \backslash cdot\; b+b\; \backslash cdot\; a-b\; \backslash cdot\; b=a^2-b^2$

Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen.
Das Quadrat einer beliebigen Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen, indem man die Berechnung auf Quadrate von einfacheren Zahlen (Vielfache von 10 oder einstellige Zahlen) zurückführt.
Beispielsweise ist
: $37^2\; =\; (30+7)^2\; =\; 30^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; 30\; \backslash cdot\; 7\; +\; 7^2\; =\; 1369$

Bei Kenntnis der Quadratzahlen bis 20 lassen sich auch viele Multiplikationen auf die dritte binomische Formel zurückführen.
Beispielsweise ist
: $17\; \backslash cdot\; 13\; =\; (15+2)\; \backslash cdot\; (15-2)\; =\; 15^2\; -\; 2^2\; =225\; -\; 4\; =\; 221$

Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische_Lehrsatz.
Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten, die mittels des Pascalschen_Dreiecks leicht zu bestimmen sind.

Auch zur dritten Binomischen Formel gibt es eine Verallgemeinerung, die einem die Faktorisierung von $a^n$ - $b^n$ ermöglicht:
: $a^3\; -\; b^3=(a-b)\; \backslash cdot\; (a^2\; +\; ab\; +\; b^2)$
: $a^4\; -\; b^4=(a-b)\; \backslash cdot\; (a^3\; +\; a^2\; b\; +\; a\; b^2\; +\; b^3)$
oder allgemein für höhere Potenzen
: $a^n\; -\; b^n=(a-b)\; \backslash cdot\; (a^\{n-1\}\; +\; a^\{n-2\}\; b\; +\; a^\{n-3\}\; b^2\; +\; \backslash ldots\; +\; a^2\; b^\{n-3\}\; +\; a\; b^\{n-2\}\; +\; b^\{n-1\})\; =\; (a-b)\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}a^\{k\}\; b^\{n-1-k\}$

Eine Faktorisierung von $a^n\; +\; b^n$ ist ebenfalls möglich, wenn n ungerade ist, z.B.:
: $a^3\; +\; b^3=(a+b)\; \backslash cdot\; (a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$
: $a^5\; +\; b^5=(a+b)\; \backslash cdot\; (a^4\; -\; a^3b\; +\; a^2b^2\; -\; ab^3\; +\; b^4)$

Für gerade n ist eine Faktorisierung von $a^n\; +\; b^n$ über die komplexen_Zahlen möglich, z.B.:
: $a^2\; +\; b^2=(a+ib)\; \backslash cdot\; (a\; -\; ib)$,
oder, falls n auch ungerade Faktoren enthält, eine Faktorisierung in Faktoren höherer Ordnung, z.B.:
: $a^6\; +\; b^6=(a^2+b^2)\; \backslash cdot\; (a^4\; -\; a^2b^2\; +\; b^4)$.

Anwendung der Formel

:$(a\; +\; b)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash binom\; n\; k\; a^\{n-k\}\; \backslash cdot\; b^k$

:$\backslash sum\_\{k=0\}^n$ = Summenzeichen , $\backslash binom\; n\; k\; =\; \backslash frac\{n!\}\{k!\; \backslash cdot\; (n-k)!\}$ = Binomialkoeffizient

Beispiel n = 3 und b ist negativ / positiv:

:$(a\; \backslash pm\; b)^3\; =\; (a\; +\; (\backslash pm\; b))^3\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{3\}\; \backslash binom\; 3\; k\; a^\{3-k\}\; \backslash cdot\; (\backslash pm\; b)^k$

:$(a\; \backslash pm\; b)^3\; =\; \backslash binom\; 3\; 0\; a^\{3-0\}\; \backslash cdot\; (\backslash pm\; b)^0\; +\; \backslash binom\; 3\; 1\; a^\{3-1\}\; \backslash cdot\; (\backslash pm\; b)^1\; +\; \backslash binom\; 3\; 2\; a^\{3-2\}\; \backslash cdot\; (\backslash pm\; b)^2\; +\; \backslash binom\; 3\; 3\; a^\{3-3\}\; \backslash cdot\; (\backslash pm\; b)^3$
:$(a\; \backslash pm\; b)^3\; =\backslash binom\; 3\; 0\; a^3\; \backslash pm\; \backslash binom\; 3\; 1\; a^\{2\}\; \backslash cdot\; b\; +\; \backslash binom\; 3\; 2\; a\; \backslash cdot\; b^2\; \backslash pm\; \backslash binom\; 3\; 3\; \backslash cdot\; b^3$

:$(a\; \backslash pm\; b)^3\; =\backslash left(\backslash frac\{3!\}\{0!\; \backslash cdot\; 3!\}\; \backslash right)a^3\; \backslash pm\; \backslash left(\backslash frac\{3!\}\{1!\; \backslash cdot\; 2!\}\; \backslash right)\; a^\{2\}\; \backslash cdot\; b\; +\; \backslash left(\backslash frac\{3!\}\{2!\; \backslash cdot\; 1!\}\; \backslash right)\; a\; \backslash cdot\; b^2\; \backslash pm\; \backslash left(\backslash frac\{3!\}\{3!\; \backslash cdot\; 0!\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; b^3$

:$(a\; \backslash pm\; b)^3\; =a^3\; \backslash pm\; 3\; a^\{2\}\; b\; +\; 3\; a\; b^2\; \backslash pm\; b^3$

Diese Formel lässt sich auch für negative Exponenten anwenden

:$(a\; \backslash pm\; b)^\{(-3)\}\; =\; (a\; \backslash pm\; b)^\{(3)\backslash cdot(-1)\}=(a^3\; \backslash pm\; 3\; a^\{2\}\; b\; +\; 3\; a\; b^2\; \backslash pm\; b^3\; )^\{(-1)\}=\backslash frac\{1\}\{a^3\; \backslash pm\; 3\; a^\{2\}\; b\; +\; 3\; a\; b^2\; \backslash pm\; b^3\}$

bzw. für gebrochene Exponenten

:$(a\; \backslash pm\; b)^\{(\backslash frac\{3\}\{4\})\}\; =\backslash sqrt[4]\{(a\; \backslash pm\; b)^\{3\}\}=\backslash sqrt[4]\{(a^3\; \backslash pm\; 3\; a^\{2\}\; b\; +\; 3\; a\; b^2\; \backslash pm\; b^3\; )\}$

Veranschaulichung

Eine weitere Veranschaulichung der dritten Binomischen Formel erhält man durch folgende Zerlegung:

Bedeutung

Mit Hilfe der Binomischen Formeln lassen sich Multiplikation und Division auf die einfacheren Rechenarten Quadrieren, Addieren, Subtrahieren, Halbieren und Verdoppeln zurückführen:

Die erste und zweite Binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen a und b:

$a\; \backslash cdot\; b\; =\; ((a+b)^2\; -\; a^2\; -\; b^2)\; /\; 2\; =\; (b^2\; +\; a^2\; -(a-b)^2)\; /\; 2$

Wer an Stelle des Einmaleins die ersten hundert Quadratzahlen kennt, kann so das allgemeine Produkt zweier Zahlen leicht berechnen. In Ermangelung eines Ziffernsystems mit Null haben nachweislich die Babylonier so gerechnet und in der ganzen Antike und im Mittelalter wird man so gerechnet haben. Die angebliche Umständlichkeit der antiken Zahlsysteme wird damit relativiert, da man mit diesen Zahlsystemen sehr gut addieren und subtrahieren konnte.

Die dritte Binomische Formel ist nicht nur ein Kopfrechenkniff, sondern liefert auch ein Verfahren, die Division auf die Multiplikation und eine einfachere Division zurückzuführen. Durch Erweiterung eines Nenners a+b mit dem so genannten konjugierten a-b wird die Division durch algebraische Zahlen auf die Division von rationalen Zahlen zurückgeführt und die Division von komplexen (und hyperkomplexen) Zahlen auf die Division durch reelle Zahlen.

Siehe auch

Binomische Reihe

Weblinks

• Binomische Formeln - Multiple Choice Test

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