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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung (manchmal nicht ganz korrekt auch Bernoulli-Verteilung genannt) ist eine der wichtigsten diskreten_Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Sie beschreibt den wahrscheinlichen Ausgang einer Folge von gleichartigen Versuchen, die jeweils nur_zwei_mögliche_Ergebnisse haben, also die Ergebnisse von Bernoulli-Prozessen.
Wenn das gewünschte Ergebnis eines Versuches die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt, und die Zahl der Versuche $n$ ist, dann gibt die Binomialverteilung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich insgesamt $k$ Erfolge einstellen. Unter diesen Vorraussetzungen ist der Versuch ein Bernoulli-Versuch.

Die Binomialverteilung ist zur Beschreibung von Zufallsgrößen der folgenden Art geeignet:
*Die Bestimmung der Anzahl einer bestimmten Eigenschaft in einer Stichprobe aus einer Menge von Elementen, wenn die Reihenfolge beim Entnehmen der Stichprobe aus der Gesamtmenge keine Rolle spielt, und die entnommenen Elemente wieder zurückgelegt werden (Ziehen mit Zurücklegen). Beispiel: Ein Korb enthält $N$ Bälle, davon sind $M$ schwarz und $N-M$ weiß. Die Wahrscheinlichkeit, einen Schwarzen zu finden, ist also $p=M/N$. Es werden insgesamt $n$ Bälle entnommen, untersucht und wieder zurückgelegt. Dabei werden $k$ Schwarze identifiziert. Insgesamt gibt es $N^\{n\}$ Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. In $\{n\backslash choose\; k\}M^\{k\}(N-M)^\{n-k\}$ Fällen davon werden $k$ schwarze Bälle ausgewählt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, unter $n$ Bällen $k$ Schwarze zu finden ist
:$\backslash operatorname\{P\}(k)=\; \{n\backslash choose\; k\}\backslash frac\{M^\{k\}(N-M)^\{n-k\}\}\{N^\{n\}\}$
= {n\choose k}\left(\frac{M}{N}\right)^{k}\left(\frac{N-M}{N}\right)^{n-k}
= {n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
:Die Binomialverteilung ist dabei auch auf Probleme ohne Zurücklegen anwendbar. Diese Bedingung existiert in diesem Beispiel, damit die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg sich nicht ändert.
*Die Bestimmung der Gesamtanzahl von defekten Bauteilen, die unter identischen Bedingungen hergestellt worden sind.
*Die Abschätzung der zufälligen Anzahl von identischen Bauteilen, die in einem Zeitintervall ausfallen, wenn sie unter gleichen Randbedingungen verwendet werden.

Die Binomialverteilung bzw. der Bernoulliversuch kann mit Hilfe des Galtonbretts veranschaulicht werden. Dabei handelt es sich um eine mechanische Apparatur, in die man eine beliebige Zahl von Kugeln werfen kann. Diese fallen dann zufällig in eines von mehreren Fächern, wobei die Aufteilung der Binomialverteilung entspricht.

Definition der Binomialverteilung

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
:$B(\backslash cdot/\text{'}>p,n):\backslash Bbb\; Z\backslash to\; [0,1],\backslash ;\; k\backslash mapsto\; B(k|p,n)\; =\; \{n\; \backslash choose\; k\}p^k\; (1-p)^\{n-k\}$
heißt die Binomialverteilung zu den Parametern $n$ (Anzahl der Versuche) und $p\backslash in\; [0,1]$ (Trefferwahrscheinlichkeit).

Dabei wird nur den Zahlen $0,1\backslash dots\; n$ eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zugeordnet. Die zur Trefferwahrscheinlichkeit $p$ komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit $1-p$ wird häufig als $q$ abgekürzt. Nach dem Wahrscheinlichkeiten
:$\backslash operatorname\{P\}(X=k)\; =\; B(k/\text{'}>p,n)$
und damit die Varianz $npq$ mit $q=1-p$.

= Beweis

=
Den Erwartungswert errechnet man direkt aus der Definition $\backslash operatorname\{E\}(X)=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i\; p\_i$ zu
:
oder alternativ mit der Summenregel für Erwartungswerte, wenn man berücksichtigt, dass die identischen Einzelprozesse der Bernoulli-Verteilung mit $\backslash operatorname\{Var\}(X)\; =\; p(1-p)=\; pq$ genügen zu

:$\backslash operatorname\{Var\}(X)=\backslash operatorname\{Var\}(X\_1+\backslash ldots+X\_n)=\backslash operatorname\{Var\}(X\_1)+\backslash ldots+V(X\_n)=n\; \backslash operatorname\{Var\}(X\_1)=n(p-p^2)=npq$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten
:$\backslash operatorname\{VarK\}(X)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1-p\}\{np\}\}$.

Schiefe und Wölbung

Die Schiefe ergibt sich zu
:$\backslash operatorname\{v\}(X)\; =\; \backslash frac\{1-2p\}\{\backslash sqrt\{np(1-p)\}\}$.
Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als
:$\backslash beta\_2\; =\; \backslash frac\{1-6pq\}\{npq\}$.

Maximum

Das Maximum wird für bei $k=\backslash lfloor\; np+p\backslash rfloor$ und für $p=1$ bei $n$ angenommen. Falls $np+p$ eine natürliche Zahl ist, ist B(k|p,n) auch bei $k=\; np+p-1$ maximal.
Falls der Erwartungswert eine natürliche Zahl ist, ist der Erwartungswert die Maximalstelle.

= Beweis

=
Sei ohne Einschränkung
Wir schauen uns den Quotienten $\backslash frac\; \{B(k+1|p,n)\}\{B(k|p,n)\}=:\; \backslash alpha\_k$ an. Es gilt
$\backslash alpha\_k=\backslash frac\{n-k\}\{k+1\}\backslash ,\backslash frac\{p\}\{1-p\}$. Nun gilt
$\backslash alpha\_k>1$ falls und falls $k>\; np-(1-p)$. Und nur im Falle, dass $np-(1-p)\backslash in\; \backslash mathbb\; N$, ist
$B(np-(1-p)|n,p)=B(np+p)|n,p)$. Die Aussage ist bewiesen.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische_Funktion hat die Form
:$\backslash phi\_\{X\}(s)\; =\; ((1-p)+pe^\{is\})^\{n\}\; =\; (q+pe^\{is\})^\{n\}$.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende_Funktion erhält man
:$g\_\{X\}(s)\; =\; (ps+(1-p))^\{n\}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende_Funktion der Binomialverteilung lautet:
:$m\_\{X\}(s)\; =\; (p\; \backslash cdot\; e^s\; +\; (1-p))^n$

Summe binomialverteilter Zufallsgrößen

Für die Summe $Z=X+Y$ zweier unabhängige binomialverteilte Zufallsgrößen $X$ und $Y$ mit den Parametern $n\_1$, $p$ und $n\_2$, $p$ erhält man die Einzelwahrscheinlichkeiten


also wieder eine binomialverteilte Zufallsgröße, jedoch mit den Parametern $n\_1+n\_2$ und $p$.

Allgemein gilt: Wenn die $m$ Zufallsvariablen $X\_\{i\}$ stochastisch unabhängig sind und den Binomialverteilungen $B(n\_i,p)$ genügen, dann ist auch die Summe $X\_\{1\}+X\_\{2\}+\backslash dots\; +X\_\{m\}$ binomialverteilt, jedoch mit den Parametern $n\_1+n\_2+\backslash dots\; +n\_m$ und $p$.

So ist zum Beispiel

$P(X=\backslash ell/\text{'}>Z=k)=\backslash frac\{P(X=\backslash ell\backslash cap\; Z=k)\}\{P(Z=k)\}=\backslash frac\{P(X=\backslash ell\backslash cap\; Y=k-\backslash ell)\}\{P(Z=k)\}$
=\frac{P(X=\ell)\, P(Y=k-\ell)}{P(Z=k)}$=\backslash frac\{\; \{n\_1\; \backslash choose\; \backslash ell\}\; \backslash ,\; p^\backslash ell\; \backslash ,\; (1-p)^\{n\_1-\backslash ell\}\; \backslash ;\; \{n\_2\; \backslash choose\; k-\backslash ell\}\; \backslash ,\; p^\{k-\backslash ell\}\; \backslash ,\; (1-p)^\{n\_2-k+\backslash ell\}\; \}=\backslash frac\{\; \{n\_1\; \backslash choose\; \backslash ell\}\; \backslash ;\; \{n\_2\; \backslash choose\; k-\backslash ell\}\; \}\backslash ,\backslash cdot\backslash exp\backslash left(-\backslash ,\; \{\backslash rm\; e\}^\backslash frac\{-x^2\}\{2\}$.
Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte zur Standard-Normalverteilung $\backslash mathcal\{N\}(0,1)$. Im zentralen_Grenzwertsatz wird dieser Befund so verallgemeinert, dass auch Folgen anderer diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegen die Normalverteilung konvergieren.
Und hier die gleichen Daten in einer halblogarithmischen Auftragung, die sehr zu empfehlen ist, wenn man überprüfen möchte, ob auch seltene Ereignisse, die um mehrere Standardabweichungen vom Erwartungswert abweichen, einer Binomial- oder Normalverteilung folgen:

Allgemeiner Fall (p ∈ [0,1])

In der Übersicht sieht man sehr gut die Auswirkung von p auf das Maximum in Bezug auf die Bedingung das $\backslash int\; b(x|p)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; const.$

Ziehen von Kugeln

In einem Behälter befinden sich 80 Kugeln, davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal eine Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt.
Wegen des Zurücklegens ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, bei allen Entnahmen gleich groß: 16/80 = 1/5 = 0,2.
Die Verteilung B(k|0,2; 5) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau k der entnommenen Kugeln gelb sind.

Anzahl Personen mit Geburtstag am Wochenende

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag hat, beträgt 2/7.
In einem Raum halten sich 10 Personen auf (Darunter sind keine Zwillinge).
Die Verteilung B(k|2/7; 10) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau k der Anwesenden in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben.

Gemeinsamer Geburtstag im Jahr

253 Personen sind zusammen gekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand der Anwesenden an einem zufällig ausgewählten Tag Geburtstag hat?

Die Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses beträgt $1/365\backslash approx\; 0,003$, die Zahl der Versuche 253. Die direkte Berechnung der Binomialverteilung ist aufgrund der großen Fakultäten schwierig. Eine Näherung über die Poisson-Verteilung ist zulässig (n>50, p<0,05).

: k(0): 0,49
: k(1): 0,35
: k(2): 0,12
: k(3): 0,03
: k(4): 0,01
: Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem ausgewählten Tag niemand Geburtstag hat, beträgt fast 50%. Die andere Hälfte der Personen hat allein Geburtstag (35%) oder teilt ihn mit einer (12%) oder zwei (3%) weiteren Personen.

Das Ergebnis sieht völlig anders aus, wenn nicht nach der Geburtstagswahrscheinlichkeit an einem Tag im Jahr gefragt wird, sondern nach der Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Geburtstage. Statt 365 Tagen steht nur noch eine Anzahl unterschiedlicher Tage zur Verfügung, die höchstens der Zahl der Personen entspricht, siehe Geburtstagsproblem.

Anmerkung: Rechnet man mit 364/365 anstatt mit dem gerundeten Wert 0,003, so ergibt sich für k=0 (keiner der 235 Personen im Raum hat Geburtstag) eine Abweichung der Wahrscheinlichkeit von 3% ( P(k=0)=52%)

Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit

In einer Meinungsumfrage unter n Personen geben k Personen an, die Partei A zu wählen. Bestimme ein 95% -Konfindenzintervall.

Eine Lösung des Problems ohne Rückgriff auf die Normalverteilung findet sich im Artikel Konfidenzintervall einer unbekannten Wahrscheinlichkeit.

Auslastungsmodell

Mittels folgender Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass k von n Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich m Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.

$P(X=k)\; =\; \{n\; \backslash choose\; k\}\backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{m\}\{60\}\backslash right)^k\backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{m\}\{60\}\backslash right)^\{n-k\}$

Zufallszahlen

Zufallszahlen zur Binomialverteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt.

Weblinks

• Universität Konstanz - Interaktive Animation
• hutschdorf.de/... - Interaktive Animation erstellt mit Macromedia Flash
• Binomialverteilung - Bernoulli - Versuche und die Binomialverteilung
• binomial_tabelle.pdf - Tabellen zur Binomialverteilung für einfache und kumulierte Wahrscheinlichkeiten
su:Sebaran binomial

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