Wichtiger Hinweis zum Inhalt des Online-LexikonsBei den auf dieser Seite aufgeführten Texten/Artikeln/Inhalten handelt es sich ausschließlich um fremde Inhalte, die sich die Aschendorff Verlag GmbH & Co. KG ausdrücklich nicht zu Eigen macht. Diese fremden Inhalte, die keiner regelmäßigen Überprüfung unterliegen, sind ausnahmslos solche der freien Enzyklopädie Wikipedia, für die keinerlei Verantwortung übernommen wird.

---

Lizenzbestimmungen Der Text/Artikel/Inhalt auf dieser Seite innerhalb der Rubrik "Online Lexikon" basiert, soweit nicht anders angegeben, auf dem Artikel Binomialsatz aus der freien Enzyklopädie Wikipedia. Die Inhalte stehen unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. Eine Liste der Autoren ist dort abrufbar.

Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form
:$(x+y)^\{n\},\backslash quad\; n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$
als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. Dieser Satz zählt zu den wichtigsten mathematischen Theoremen. Auf einer 1999 veröffentlichten Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze[http://personal.stevens.edu/~nkahl/Top100Theorems.html The Hundred Greatest Theorems] ist er auf Platz 44 gereiht.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form $(x+y)^n$ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären_Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\backslash in\backslash Bbb\; N\_0$ gilt die Gleichung

:$(x+y)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\{n\; \backslash choose\; k\}\; x^\{n-k\}y^\{k\}\; \backslash quad\; (1)$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$. (Man beachte dabei $0^0=1$.)

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten
:$\{n\; \backslash choose\; k\}\; =\; \backslash frac\; \{n!\}\{(n-k)!\backslash cdot\; k!\}$  ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash ldots\backslash cdot\; n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme $\{n\backslash choose\; k\}\; x^\{n-k\}y^k$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl $\{n\backslash choose\; k\}$ an das Ringelement $x^\{n-k\}y^k$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\backslash Z$-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n=2$ heißt erste Binomische Formel.

Verallgemeinerungen

*Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur $x$ und $y$ miteinander kommutieren, d.h. $x\backslash cdot\; y\; =\; y\backslash cdot\; x$ gilt.
*Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
:$(x+y)^n\; =\; x^n\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\{n\; \backslash choose\; k\}\; x^\{n-k\}y^\{k\}\; +\; y^n$.
*Für mehr als zwei Summanden gibt es den polynomischen_Lehrsatz.

Herleitung

Der Beweis funktioniert durch Induktion über $n$; für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel

:$(x+y)^3=\{3\; \backslash choose\; 0\}\; x^\{3\}\; +\; \{3\; \backslash choose\; 1\}\; x^\{2\}y\; +\; \{3\; \backslash choose\; 2\}\; xy^\{2\}\; +\; \{3\; \backslash choose\; 3\}\; y^\{3\}=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:$(x-y)^3=\{3\; \backslash choose\; 0\}\; x^\{3\}\; +\; \{3\; \backslash choose\; 1\}\; x^\{2\}(-y)\; +\; \{3\; \backslash choose\; 2\}\; x(-y)^\{2\}\; +\; \{3\; \backslash choose\; 3\}(-y)^\{3\}=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten ? mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn ? eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form

:$(x+y)^\{\backslash alpha\}=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\{\backslash alpha\; \backslash choose\; k\}x^\{k\}y^\{\backslash alpha\; -\; k\}\; \backslash quad\; (2)$.

Diese Reihe konvergiert für alle $x,y\backslash in\backslash mathbb\{C\}$ mit .

Im Spezialfall $\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\backslash in\backslash mathbb\{C\}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

:$\{\backslash alpha\; \backslash choose\; k\}\; =\; \backslash frac\{\backslash alpha\; (\backslash alpha\; -\; 1)(\backslash alpha\; -\; 2)\; \backslash cdots\; (\backslash alpha\; -\; k\; +\; 1)\}\{k!\}$.

Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für ? = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.

Weiterführende Literatur

M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.

Einzelnachweise

       VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE