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Inversion (Diskrete Mathematik)

In der diskreten_Mathematik bezeichnet eine Inversion die wechselseitige Darstellung von Zahlenfolgen durch Summen. So gilt z.B.

:$(x-1)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; (-1)^\{n-k\}\; x^k$ und
$x^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; (x-1)^k$.

Daraus kann man nun die sogenannte Binomialinversion ableiten: Über dem Vektorraum der
Polynome bis zum Grad n stellen sowohl die Polynome $1,x,x^2,...,x^n$ als auch
die Polynome $1,x-1,(x-1)^2,...,(x-1)^n$ eine Basis dar. Jedes Polynom aus
der ersten Folge kann also als Linearkombination der Polynome der zweiten Folge dargestellt werden, und umgekehrt. Die Koeffizienten nennt man auch Zusammenhangskoeffizienten.

Fasst man die Koeffizienten beider Zusammenhänge in Matrizen A und B zusammen, so sind A und B invers zueinander, da sie Basiswechselmatrizen zwischen den beiden Basisfolgen darstellen.

Daraus folgt nun für beliebige Zahlenfolgen:

$a\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; (-1)^\{n-k\}\; b\_k\; \backslash Longleftrightarrow$
b_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a_k Dieses Verfahren lässt sich auch auf andere Basisfolgen, z.B. $1,x,x(x-1),x(x-2)(x-3),...$ anwenden.

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