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Dualsystem

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Schriftliche Addition

Die binäre Addition ist eine grundlegende Basisoperation in der Computerwelt. Will man zwei nicht negative Binärzahlen $A$ und $B$ addieren, kann man dies wie im Dezimalsystem tun. Nur muss man beachten, dass bei dem Ergebnis Zwei keine Zwei an der jeweiligen Stelle notiert wird, sondern eine Null und ein Übertrag an die nächste Stelle. Dies geschieht analog zu dem Fall einer Dezimaladdition, wenn sich eine Zehn bei der Addition einer Stelle ergibt:

Die Zahlen werden übereinander aufgeschrieben. Nun arbeitet man von rechts nach links alle Binärziffern (=Bits) von $A$ und $B$ simultan ab und erzeugt in jedem Zwischenschritt ein Ergebnisbit sowie ein Merkerbit (auch Übertrag genannt). Dabei werden die Bits entsprechend der Tabelle rechts zusammengezählt. In den Spalten A und B sind die Bits der zu addierenden Zahlen zu finden. In der Spalte $M\_1$ steht das Merkerbit des vorherigen Zwischenschrittes. Daraus ergibt sich (entsprechend dieser Tabelle, welche einem Volladdierer entspricht) ein Ergebnisbit (E) und ein neues Merkerbit ($M\_2$). Alle Ergebnisbits, von rechts nach links aneinandergereiht, stellen das Resultat dar. Entsteht beim letzten Zwischenschritt ein Merkerbit, so bekommt das Resultat links eine zusätzliche 1.Am besten sieht man dies anhand eines Beispieles. Hier werden die Zahlen A und B zusammengezählt. In jedem Schritt wird ein anfallendes Merkerbit bei der nächsten Ziffer notiert.

       A = 10011010 (154)

       B = 00110110 (54)

  Merker =  11111        

           --------

Ergebnis = 11010000 (208)

           

Schriftliche Subtraktion

Die Subtraktion verhält sich analog zur Addition.

:0 ? 0 = 0
:0 ? 1 = ?1 (dargestellt als 1 und Übertrag)
:1 ? 0 = 1
:1 ? 1 = 0

Eine Zahl im Dualsystem kann von der anderen wie im folgenden Beispiel dargestellt subtrahiert werden:

$$
\begin{matrix} & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
-& & & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
& & {}_1 & & {}_1 & {}_1 & {}_1 &
\end{matrix}
\over
\begin{matrix} =& 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{matrix}


Hier wird die Subtraktion 110 - 23 = 87 durchgeführt. Die kleinen Einsen in der dritten Reihe zeigen den Übertrag. Das Verfahren ist das Gleiche, wie es in der Schule für das Dezimalsystem unterrichtet wird. Etwas ungewohnt sieht der Fall 0-1 aus. Zum Beispiel im Fall 2 ? 9 im Dezimalsystem, denkt man sich eine Zehnerstelle vor die Zwei, wodurch sich die Subtraktion 12 ? 9 ergibt. Die gedachte Zehnerstelle wird dann als Übertrag an die nächste Stelle weitergereicht. Im Dualsystem geschieht das Gleiche. Aus 0 ? 1 wird 10 ? 1. Es kann als Ergebnis also eine 1 hingeschrieben werden, die vor die 0 gedachte Eins muss dann als Übertrag an die nächste Stelle geschrieben und von dieser zusätzlich abgezogen werden.

Das Verfahren funktioniert (wie auch im Dezimalsystem) nicht, wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend.

Die Subtraktion einer positiven Zahl ergibt das selbe Ergebnis wie die Addition zu einer negativen Zahl mit dem gleichen Betrag.

Schriftliche Multiplikation

Um Binärzahlen multiplizieren zu können, muss man mehrere Schritte durchführen, um ans Ziel zu gelangen.

Als Beispiel seien hier:

FaktorA = 1100 (12)

FaktorB = 1101 (13)

Ergebnis = 10011100 (156)

So berechnet man das Ergebnis:

Am einfachsten multipliziert man zwei Binärzahlen indem man (nach alter Schulmethode) schriftlich multipliziert.

Man arbeitet sich bei FaktorB zeichenweise von rechts nach links voran. Dabei zählt man den FaktorA zum Ergebnis dazu, falls die Ziffer "1" ist und schiebt danach den FaktorA in jedem Fall eins nach links.

(Anmerkung: Das Schieben ist mathematisch gleichzusetzen mit der Multiplikation mit/Division durch 2 (binär: 10), wobei nach links=Multiplikation und nach rechts=Division)

Dieses Beispiel würde also wiefolgt berechnet werden:

       1100

 ×     1101

 ----------

 +     1100  ? erste Ziffer "1"

 +       0   ? da der Multiplikator "0" ist, steht hier eine "0". Um keine Stelle zu vergessen, fügt man eine "0" ein

 +   1100    ? erst hier wird wieder gerechnet, weil die zweite Ziffer "0" ist und dritte erst wieder "1"

 +  1100     ? vierte Ziffer "1"

 ----------

 = 10011100

 
=

Schriftliche Division

Am Beispiel der Division von 1000010 / 11 (entspricht 66:3 im Dezimalsystem)

    1000010 ÷ 11 = 10110 Rest 0 (= 22 im Dezimalsystem)

  - 011

  -----

    00100

    - 011

     ----

      0011

     - 011

     -----

        000

      -  00

        ---

          0

Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme

Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil, dass Zahlen im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang und schwer zu überschauen sind (siehe Tabelle unten). Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt, welches die Basis 16 besitzt.
Da 16 eine Potenz von 2 ist, ist es besonders einfach möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Stellen der Dualzahl durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Die Hexadezimalziffern mit dem Wert 0-15 werden in der Regel durch die Ziffernsymbole 0-9 und die Großbuchstaben A-F (für die Werte 10-15) dargestellt. Dadurch sind sie verhältnismäßig gut lesbar, so lässt sich zum Beispiel leicht feststellen, dass EDA5₍₁₆₎ größer ist als ED7A₍₁₆₎ wo hingegen sich die entsprechenden Dualzahlen 1110110110100101₍₂₎ und 1110110101111010₍₂₎ nicht so schnell überblicken lassen.

Vom Dualsystem ins Dezimalsystem

Um eine Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.

Beispiel:
:$1010\_\{(2)\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2^3\; +\; 0\; \backslash cdot\; 2^2\; +\; 1\; \backslash cdot\; 2^1\; +\; 0\; \backslash cdot\; 2^0=\; 1\; \backslash cdot\; 2^3\; +\; 1\; \backslash cdot\; 2^1\; =\; 8\; +\; 2\; =\; 10\_\{(10)\}$

vom Dezimalsystem ins Dualsystem =

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode (auch Leibniz und die Dyadik
• binaersystem.homeunix.org, eine Themenseite speziell über das Dualsystem
• Umrechnung von Zahlensystemen (u. a. dual ? dezimal)
• Zusammenfassung Dualarithmetik und Zahlensysteme
• Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln mit Nachkommastellen

lmo:Còdas binari
vls:Binair reeknn
yi:???????

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