Bilinearform

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Bilinearform

Als Bilinearform bezeichnet man in der linearen_Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in ihren beiden Argumenten ist.

Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen V, W entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper K zugrundeliegen muss; eine Bilinearform ist eine Abbildung

B\colon V\times W\to K

. Eine Bilinearform ist eine Linearform bezüglich sowohl ihrem ersten als auch ihrem zweiten Argument.

Der Wert einer mindestens positiv definiten Bilinearform

B(v,w)

auf zwei Vektoren

v,w

wird meist als

\langle v,w\rangle

geschrieben.

Definition

Es seien

V,W

Vektorräume über einem Körper

K

(oder allgemeiner Moduln über einem Ring).

Eine Abbildung
:

B\colon V\times W\to K,\quad (v,w)\mapsto B(v,w)=\langle v,w\rangle

heißt Bilinearform, wenn gilt:
*

\langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle

\langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle

\langle \lambda v,w\rangle=\lambda\langle v,w\rangle=\langle v,\lambda w\rangle;

dabei sind

v,v_1,v_2\in V

w,w_1,w_2\in W

und

\lambda\in K

.

Die Menge
:

{}^\perp W:=\{v\in V\mid\langle v,w\rangle=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ w\in W\}\subseteq V

ist ein Untervektorraum von

V

und heißt Rechtskern oder Rechtsradikal der Bilinearform. Entsprechend heißt
:

V^\perp:=\{w\in W\mid\langle v,w\rangle=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ v\in V\}\subseteq W

Linkskern oder Linksradikal. Die Schreibweisen

U^\perp

bzw.

{}^\perp\! X

werden mit der analogen Definition auch für Teilmengen

U\subseteq V

bzw.

X\subseteq W

benutzt.

Jede Bilinearform definiert lineare Abbildungen
:

V\to W^*,\quad v\mapsto\left(w\mapsto\langle v,w\rangle\right)

und
:

W\to V^*,\quad w\mapsto\left(v\mapsto\langle v,w\rangle\right).

Rechts- bzw. Linkskern sind die Kerne dieser Abbildungen.

Verschwinden Rechts- und Linkskern, sind also die beiden Abbildungen
:

V\to W^*

und

W\to V^*

injektiv, so heißt die Bilinearform nicht ausgeartet. Man spricht in diesem Fall auch von einer perfekten Paarung.

Sind

V

und

W

endlichdimensional, so sind die Abbildungen
:

V\to W^*

und

W\to V^*

für eine nicht ausgeartete Paarung Isomorphismen.

Symmetrieeigenschaften im Fall V = W

Wenn die beiden Argumente aus dem gleichen Vektorraum

V

stammen, kann die Bilinearform

B\colon V\times V\to K

zusätzliche Symmetrieeigenschaften haben:
*

B

heißt symmetrisch, wenn
::

\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle

:für alle

x,y\in V

gilt.
* (Die Charakteristik von

K

sei nicht gleich 2; diese Bedingung ist beispielsweise für

K=\R

und

K=\mathbb C

erfüllt. Für den allgemeinen Fall siehe unten.)

B

heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch oder alternierend, wenn
::

\langle x,x\rangle=0

:für alle

x\in V

gilt. Diese Bedingung ist äquivalent zu
::

\langle x,y\rangle=-\langle y,x\rangle

:für alle

x,y\in V

Unterscheidung zwischen alternierenden und schiefsymmetrischen Formen

Lässt man Grundkörper der Charakteristik 2 zu, oder betrachtet man Moduln über einem beliebigen kommutativen_Ring, so muss man zwischen den Begriffen ?alternierend? und ?schiefsymmetrisch? unterscheiden:
*

B

heißt alternierend, wenn
::

B(x,x)=0

: für alle

x\in V

gilt.
*

B

heißt schiefsymmetrisch, wenn
::

B(x,y)=-B(y,x)

: für alle

x,y\in V

gilt.
Jede alternierende Form ist schiefsymmetrisch, aber nicht notwendigerweise umgekehrt. Ist 2 kein Nullteiler (allgemeiner: besitzt der Zielmodul keine 2-Torsion), so sind die Begriffe äquivalent.

Beispiele

* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform.
* Ein Skalarprodukt

B

auf einem komplexen Vektorraum

V

ist keine Bilinearform, sondern eine Sesquilinearform. Fasst man jedoch

V

als reellen Vektorraum auf, so ist
::

V\times V\to\mathbb R,\quad (x,y)\mapsto\mathrm{Re}\,B(x,y)

:eine symmetrische Bilinearform und
::

V\times V\to\mathbb R,\quad (x,y)\mapsto\mathrm{Im}\,B(x,y)

:eine alternierende Bilinearform.
* Es gibt eine kanonische nicht ausgeartete Bilinearform
::

V\times V^*\to K,\quad (v,f)\mapsto\langle v,f\rangle=f(v).

Koordinatendarstellung

Für endlichdimensionale

V

und

W

kann man Basen

e=(e_1,\ldots,e_n)

und

f=(f_1,\ldots,f_m)

wählen.

Die darstellende Matrix einer Bilinearform

B\colon V\times W\to K

ist nun
:

M_B\in Mat(n,m,K)

{(M_B)}_{ij}:=B(e_i,f_j)

Sind

x

und

y

die Koordinatenvektoren von

v\in V

und

w\in W

, so gilt
:

B(v,w)=x^TM_B\,y = 
\begin{pmatrix}x_1 \dots x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} B(e_1,f_1) & \cdots & B(e_1,f_m) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ B(e_n,f_1) & \dots & B(e_n,f_m) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_m\end{pmatrix}

wobei das Matrixprodukt eine

1\times 1

-Matrix liefert, also ein Körperelement.

Ist umgekehrt

M

eine beliebige

n\times m

-Matrix, so definiert
:

B_M(x,y):=x^TM\,y

eine Bilinearform

B_M\colon K^n\times K^m \to K

Basiswechsel

Sind

e'

und

f'

weitere Basen von

V

und

W

, weiterhin

{}_{e'}{\mathbf 1}_e

die Basiswechselmatrix von

e

nach

e'

. Dann ergibt sich die Matrix von

B

in der neuen Basis als
:

A'={}_{e}{\mathbf 1}_{e'}^T \cdot A \cdot {}_{f}{\mathbf 1}_{f'}

Beispiele/Eigenschaften

* Das Standardskalarprodukt hat als Matrix die Einheitsmatrix.
* Die Bilinearform ist (anti)symmetrisch genau dann, wenn die Matrix (anti)symmtrisch ist.
* Die Abbildung

B \mapsto M_B

ist eine Bijektion des Raumes der Bilinearformen

V\times W\to K

auf die

n\times m

K

-Matrizen. Definiert man die Summe und Skalarmultiplikation von Bilinearformen auf kanonische Weise (

(\lambda B_1 + B_2)(v,w):=\lambda B_1(v,w)+B_2(v,w)

), so ist diese Bijektion auch ein Vektorraumisomorphismus.
* Für symmetrische Bilinearformen über Vektorräumen endlicher Dimension existiert eine Basis, in der die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat (falls

char(K)\ne 2

). (siehe Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren für den Spezialfall positiv_definiter Bilinearformen)
* Falls weiterhin

K=\mathbb R

kann man eine Basis finden, in der zusätzlich auf der Diagonalen nur die Einträge 1, -1 und 0 vorkommen (Trägheitssatz von Sylvester)

Weiterführende Bemerkungen

* Bilinearformen

V\times W\to K

entsprechen linearen Abbildungen

V\otimes W\to K

; siehe Tensorprodukt.
* Wenn die Abbildung nicht notwendig in den Skalarkörper K, sondern in einen beliebigen Vektorraum erfolgt, spricht man von einer bilinearen_Abbildung.
* Die Verallgemeinerung des Begriffes der Bilinearform auf mehr als zwei Argumente heißt Multilinearform.
* Über dem Körper der komplexen_Zahlen fordert man oft Linearität im einen und Semilinearität im anderen Argument; statt einer Bilinearform erhält man dann eine Sesquilinearform. Insbesondere ist ein inneres_Produkt über einem reellen Vektorraum eine Bilinearform, über einem komplexen Vektorraum aber nur eine Sesquilinearform.

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