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Bilineare Abbildung

In dem mathematischen_Teilgebiet der linearen_Algebra und verwandter Gebiete verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz ( a*(b + c)=a*b + a*c ) bei der normalen Multiplikation.

Definition

Eine bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, d.h. eine Abbildung

:$f\backslash colon\; E\backslash times\; F\backslash to\; G$

so dass für jedes (fest gewählte) x aus E und y aus F die partiellen Abbildungen

: f(x,·): F → G und f(·,y): E → G

lineare Abbildungen sind.

Dies impliziert, dass E, F und G drei k-Moduln oder Vektorräume über dem (demselben) Körper k sind. Die Linearität der partiellen Abbildungen kann auch etwas expliziter wie folgt geschrieben werden:

:$\backslash forall\; x,x\text{'}\backslash in\; E,\backslash forall\; y,y\text{'}\backslash in\; F:\; f(x+x\text{'},y)=f(x,y)+f(x\text{'},y),~\; f(x,y+y\text{'})=f(x,y)+f(x,y\text{'})\; ~$ und
:$\backslash forall\; x\backslash in\; E,\backslash forall\; y\backslash in\; F,\backslash forall\; \backslash lambda\backslash in\; k:\; f(\backslash lambda\; x,y)=\backslash lambda\; f(x,y)=f(x,\backslash lambda\; y)~.$

Bemerkung: f kann als eine Art "Multiplikation" aufgefasst werden, welche einem Paar (x,y) das "Produkt" f(x,y) zuordnet. Aus dieser Perspektive entspricht die Bilinearität dem Distributivgesetz.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bilineare Abbildungen mit endlich-dimensionalem Defintionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung B stetig, ist sie auch total_differenzierbar und es gilt: $DB(x\_0,y\_0)(x,y)\; \backslash ;=\backslash ;\; B(x\_0,y)\backslash ,+\backslash ,B(x,y\_0).$

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien $f,\; g$ total differenzierbare Funktionen. Dann gilt: $DB(f(\backslash cdot),g(\backslash cdot\; \backslash cdot))(x\_0,y\_0)(x,y)\; \backslash ,=\backslash ,\; D(B\; \backslash circ\; (f,g))(x\_0,y\_0)(x,y)\; \backslash ,=\backslash ,\; B(Df(x\_0)x,y)\; \backslash ,+\; \backslash ,\; B(x\_0,Dg(y\_0)y).$

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und Skalarprodukt.

Die Verkettung von linearen Abbildungen ist ebenfalls eine bilineare Abbildung.

Von wichtiger Bedeutung für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie sind die Bilinearformen, welche dem Sonderfall G=k entsprechen.

In der Bildverarbeitung wird eine Bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie, Antisymmetrie (für F=E) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen_Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung $E\backslash times\; E\backslash to\; E$ macht E zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare ("anderthalb"-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, d.h. so daß
:$f(x,\backslash lambda\; y)=\backslash lambda^*\backslash ,f(x,y)$
(wobei * die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist
: $f\backslash colon\; E\backslash times\; F\backslash to\; G$
eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
: $E\backslash otimes\; F\backslash to\; G,\backslash quad\; x\backslash otimes\; y\backslash mapsto\; f(x,y);$
umgekehrt definiert jede lineare Abbildung
: $\backslash lambda\backslash colon\; E\backslash otimes\; F\backslash to\; G$
eine bilineare Abbildung
: $E\backslash times\; F\backslash to\; G,\backslash quad\; (x,y)\backslash mapsto\backslash lambda(x\backslash otimes\; y).$
Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen $E\backslash times\; F\backslash to\; G$ und dem Raum der linearen Abbildungen $E\backslash otimes\; F\backslash to\; G$.

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