Bild (Mathematik)
Bei einer mathematischen_Funktion f ist das Bild oder die Bildmenge einer beliebigen Teilmenge des Definitionsbereiches dieser Funktion die Menge der Werte aus der Zielmenge, die f auf dieser Teilmenge tatsächlich annimmt.Insbesondere wird das Bild des gesamten Definitionsbereiches von f, also die Menge aller Werte die f annimmt, auch als Wertemenge bezeichnet.
Definition
Sei eine Funktion und M eine Teilmenge von A. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Bild von M unter f:
:
Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f, also:
: (?im? vom englischen Wort image)
Die deutsche Bezeichnung ist ebenfalls gebräuchlich.
Beispiele
Für die Funktion mit gilt:
:
:
:
:
Eigenschaften
Es sei f: A ? B eine Funktion und M und N seien Teilmengen von A :
*
*
*
Ist f injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.
*
*f ist genau dann surjektiv, wenn .
Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.
Verallgemeinerung
In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus f: X → Y ein Unterobjekt i: im f → Y von Y, das die folgende universelle Eigenschaft hat:
:Ist t: T → Y ein Morphismus aus einem Testobjekt T, so dass t über f faktorisiert, so gibt es genau einen Morphismus c: T → im f mit
::
Das Kobild eines Morphismus f: X → Y ist der duale Begriff: ein Kobild ist ein Quotientenobjekt p: X → coim f von X, das die folgende universelle Eigenschaft hat:
:Ist t: X → T ein Morphismus in ein Testobjekt T, so dass t über f faktorisiert, so gibt es genau einen Morphismus c: coim f → T mit
::
In abelschen_Kategorien wie den Kategorien der Vektorräume oder abelschen_Gruppen stimmen Bild und Kobild überein. In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild.
Siehe auch
• (Mathematik)]
*Homomorphiesatz
