Biholomorphe Abbildung
Mathematik
In der Funktionentheorie ist eine biholomorphe Abbildung eine Abbildung w = f(z), die ein Gebiet G in der (komplexen) z-Zahlenebene bijektiv auf ein Gebiet G' in der w-Ebene abbildet und für die die Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist. (Die zweite Bedingung folgt bereits aus der ersten.) Eine biholomorphe Abbildung ist stets eine konforme Abbildung in dem folgenden Sinne: Der Schnittwinkel zweier Kurven der z-Ebene ist der Größe nach der gleiche wie der Schnittwinkel der Bildkurven in der zweiten Ebene und der Drehsinn bleibt erhalten.
Umgekehrt ist eine stetig differenzierbare Abbildung von G nach G' mit stetig differenzierbarer Umkehrung, die in dem oben beschriebenen Sinn konform ist, immer auch biholomorph.
Einfache Beispiele.
Die lineare Funktion
:w = f(z) = az + b (mit a, b, w, z als komplexen Zahlen der Form z = x + iy) ergibt
* für a = 1 und b nicht gleich Null eine Verschiebung (Translation)
* für reell und positiv eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor und Streckzentrum ;
* für und b = 0 eine Bogenmaß) φz und dem Betrag r = rz) geht somit in den Punkt W (mit φa+φz) und dem Betrag rz über, das ist eine Drehung.
* für /'>a| ungleich 1 und b = 0 eine Fixpunkte der Inversion.
Quadratfunktion
Bei der Quadratfunktion
:w = f(z) = z2
ist f' nicht Null, wenn z nicht Null ist. Wählt man Definitions- und Zielbereich so, dass die Null nicht enthalten ist und die Einschränkung von bijektiv ist, erhält man folglich eine biholomorphe Abbildung. Man kann beispielsweise
:
wählen, also als Definitionsbereich die rechte Halbebene und als Zielbereich die entlang der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene.
Aus w = u + iv = (x + iy)2 = x2 - y2 + (2xy)i ergibt der Vergleich der Koeffizienten bei Real- und Imaginärteil
:u = x2 - y2 und v = 2xy.
Die zur x-Achse symmetrisch liegenden Hyperbeln (vgl. Abb. 2)x2 - y2 = const gehen in vertikale Parallelen u = const über. Die zur ersten Winkelhalbierenden symmetrisch liegenden Hyperbeln 2xy = const gehen in waagrecht verlaufende Parallelen über.
Theoretische Grundlage
Wesentliche (theoretische) Grundlage für die Möglichkeit, zwei Gebiete konform aufeinander abbilden zu können, ist der Riemannsche Abbildungssatz. Die einzigen konformen Abbildungen der Riemannschen_Zahlenkugel auf sich selbst sind übrigens die Möbiustransformationen.
Siehe auch
konforme Abbildung
