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Biharmonische Funktion

Eine mathematische Funktion $u(x,y)$ heißt biharmonisch in einem Gebiet $D$, falls sie die sogenannte biharmonische Gleichung

$\backslash triangle\backslash triangle\; u(x,y)=\; 0$

für alle Punkte $(x,y)\backslash in\; D$ erfüllt. $\backslash triangle$ ist hierbei der Laplace-Operator. Die biharmonische Gleichung ist
also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung für die unbekannte Funktion $u(x,y)$.

In der Praxis tritt diese Gleichung zum Beispiel in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf.
Die Verformung $u(x,y)$ einer Platte in einem Punkt $(x,y)$ gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

$\backslash triangle\backslash triangle\; u(x,y)=\; f(x,y)$

Hier ist $f(x,y)$ die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird. Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen.

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