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Biegelinie

Die Gleichung der Biegelinie ist ein Teil der Balkentheorie. Sie wird verwendet, um die Durchbiegung prismatischer Balken im Bereich des linear-elastischen Materialverhaltens zu bestimmen. Dabei wird die Annahme zugrunde gelegt, dass die eintretenden Verformungen so klein sind, dass die biegebedingte Veränderung der Balkengeometrie bei der Aufstellung der Gleichung vernachlässigt werden kann.

Für kleine Biegewinkel $\backslash varphi$ gilt die folgende Beziehung zur Durchbiegung $w$:

:$$
{\mathrm dw(x) \over \mathrm dx} = -\varphi(x)


Hieraus folgt unter Berücksichtigung des Hookeschen_Stoffgesetzes eine lineare homogene Differentialgleichung:

:$$
-{\mathrm d\varphi(x) \over \mathrm dx} = {\mathrm d^2 w(x) \over \mathrm dx^2} = w(x) = -{M_y(x) \over EI_y}


Durch diese Differentialgleichung ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung $w$ und dem Schnittmoment $M\_y(x)$ im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung $w$ und den Schnittlasten im Balken (Biegemoment $M\_y(x)$ und Querkraft $Q\_z(x)$) sowie der äußeren Flächenlast $q\_z(x)$ gegeben ist.
(Die Koordinate $x$ wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt. Die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse $y$. Die Koordinate $z$ verläuft in Richtung der Querkraft.)

:$EI\_y\backslash ,w$(x) = -M_y(x)
:$EI\_y\backslash ,w$(x) = -Q_z(x)
:$EI\_y\backslash ,w$'(x) = q_z(x)

Damit die Durchbiegung berechnet werden kann, muss der Elastizitätsmodul $E$ des Materials bekannt sein. Weiterhin muss vorab das Flächenträgheitsmoment $I\_y$ des Balkenquerschnitts ermittelt werden.
Zusätzlich muss vorab der Verlauf der äußeren Streckenlast $q\_z(x)$ oder der Verlauf von Biegemoment $M\_y(x)$ oder der Querkraft $Q\_z(x)$ bestimmt werden. Die Gleichung kann dann mehrmals integriert werden, bis auf der einen Seite die Durchbiegung $w(x)$ steht. Hierbei ergeben sich mehrere Integrationskonstanten, die durch eine entsprechende Anzahl von Randbedingungen bestimmbar sind.

Das folgende Beispiel zeigt das Vorgehen, wenn vorab der Verlauf des Biegemoments $M\_y(x)$ ermittelt wurde:

:$EI\_y\backslash ,w\text{'}\text{'}(x)\; =\; -M\_y(x)$
:$EI\_y\backslash ,w\text{'}(x)\; =\; -\backslash int\; M\_y(x)\; \backslash mathrm\; dx\; +\; C\_1$
:$EI\_y\backslash ,w(x)\; =\; -\backslash int\; \backslash int\; M\_y(x)\; \backslash mathrm\; dx\; +\; xC\_1\; +\; C\_2$

Es ergeben sich die zwei unbekannten Konstanten $C\_1$ und $C\_2$. Diese können nun durch zwei Randbedingungen bestimmt werden. Z.um Beispiel gilt bei einem Auflager an der Stelle $x\; =\; a$, welches eine Querkraft aufnehmen kann: $w(a)\; =\; 0$. Für ein Auflager an der Stelle $x\; =\; b$, welches ein Moment aufnehmen kann, gilt: $w\text{'}(b)\; =\; 0$.

Kreismembran

Im Falle einer kreisrunden Membran werden oft auch vereinfacht die Formeln aus der Balkentheorie verwendet. Unter der Annahme einer homogenen Membran wird dann bei rotationssymmetrischen Kräften eine einfache Biegelinie berechnet. Also nur ein Querschnitt der Membran.

Mit dem tangentialen und radialen Biegemoment $M\_t$ und $M\_r$ und unter Vernachlässigung von Differentialen höherer Ordnung ergibt sich die Momentgleichung

:$M\_r\; +\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; M\_r\}\{\backslash mathrm\; dr\}\backslash cdot\; r\; -\; M\_t\; +\; Q\; \backslash cdot\; r\; =\; 0.$

Die Biegemomente lassen sich über die Poissonzahl $\backslash mu$ angeben zu:

:$M\_r\; =\; -D\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2w\}\{\backslash mathrm\; dr^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash mu\}\{r\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; dw\}\{\backslash mathrm\; dr\}\; \backslash right)$
:$M\_t\; =\; -D\; \backslash left(\; \backslash mu\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2w\}\{\backslash mathrm\; dr^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{r\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; dw\}\{\backslash mathrm\; dr\}\; \backslash right)$

D ist hierbei das Widerstandsmoment, das sich über das Elastizitätsmodul $E\_M$ der Membran mit Dicke d wie folgt schreiben lässt:

:$D\; =\; \backslash frac\{E\_M\backslash cdot\; d^3\}\{12\backslash cdot\; (1\; -\; \backslash mu^2)\}$

Die Biegelinie einer Kreismembran lautet dann in Differentialform, unter Vernachlässigung von kleinen Termen höherer Ordnung sowie von Zugspannungen (nur zulässig für geringe Dehnungen):

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^3w\}\{\backslash mathrm\; dr^3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{r\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2w\}\{\backslash mathrm\; dr^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; dw\}\{\backslash mathrm\; dr\}\; =\; \backslash frac\{Q\}\{D\}$

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