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Dualraum

Der (algebraische) Dualraum ist ein Begriff aus dem mathematischen_Teilgebiet der linearen_Algebra.

Zu einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ bezeichnet der zu $V$ zugehörige Dualraum $V*$ die Menge aller linearen_Abbildungen von $V$ nach $K$. Seine Elemente können auch als Funktionale, Linearformen oder insbesondere auch als 1-Formen aufgefasst werden. In der Sprache der Tensoralgebra heißen die Elemente von $V$ kontravariante, die von $V*$ kovariante Vektoren.

Durch die Übertragung der Addition und der skalaren Multiplikation von $V$ auf $V*$ ist $V*$ wiederum selbst ein Vektorraum über dem Körper $K$.

Hierzu definiert man für $f\; ,\; g\backslash in\; V^*$ und $x\backslash in\; V$ die vektorielle Addition:

:$+:\; \backslash ,$ $V^*\; \backslash times\; V^*\; \backslash rightarrow\; V^*$ durch $(f+g)(x)\; :=\; f(x)\; +\; g(x)\backslash ,$

Und mit $\backslash alpha\backslash in\; K$ die skalare Multiplikation:
:$\backslash cdot:\; \backslash ,$ $K\; \backslash times\; V^*\; \backslash rightarrow\; V^*$ durch $(\backslash alpha\; f)(x)\; :=\; \backslash alpha\; f(x)\backslash ,$

Ist $V$ ein endlich dimensionaler Vektorraum so ist auch $V*$ endlich dimensional und es gilt: $\backslash dim\_K\; V^*\; =\; \backslash dim\_K\; V$.

Sei $X=\backslash left\backslash \{x\_i\backslash right\backslash \}\_\{i=1,2,...,n\}$ eine endliche Basis von $V$, dann heißt $X^*=\backslash left\backslash \{x^*\_i\backslash right\backslash \}\_\{i=1,2,...,n\}$ mit
:
die duale Basis zur Basis $X$ und ist eine Basis des Dualraumes $V*$.

Ist $V$ ein unendlich dimensionaler Vektorraum, so ist auch $V*$ unendlich dimensional. (Man betrachte die lineare Abbildung $f\backslash colon\; V\backslash to\; K,f(x\_i)=1$, die in $V*$ liegt aber nicht von den $x\_i^*$ erzeugt wird)

Die Wirkung sämtlicher Elemente von $V^*$ auf $V$ lässt sich als eine einzige bezeichnet.
Die Unterscheidung zwischen algebraischen und topologischen Dualraum ist nur dann wichtig, wenn $V$ ein
unendlichdimensionaler Raum ist. In einem endlichdimensionalen Raum sind alle linearen Funktionale automatisch
stetig und somit sind der algebraische und der topologische Dualraum identisch. Wenn im Zusammenhang mit Banachräumen
von einem Dualraum die Rede ist, ist meistens der topologische Dualraum gemeint. Das Studium der Dualräume von
Banachräumen ist eines der Hauptgebiete der Funktionalanalysis.

Der topologische Dualraum ist wieder ein normierter Vektorraum mit der Norm $\backslash /\text{'}>f\backslash |\; =\; \backslash sup\_\{\backslash |x\backslash |\; \backslash leq\; 1\}\; |\backslash langle\; f,x\backslash rangle|$ .

Ist $V$ ein Vektorraum über einem analytisch vollständigen Körper (also z. B. $\backslash R$ oder $\backslash mathbb\{C\}$), dann ist der Dualraum immer Hilbertraum ist. Nach einem Satz, den M._Fréchet 1907 für separable Hilberträume und F._Riesz 1934 für allgemeine bewiesen, sind ein Hilbertraum und sein Dualraum isometrisch isomorph zueinander. Die Vertauschbarkeit von Raum und Dualraum kommt besonders deutlich in der Bra-Ket-Schreibweise von Dirac zum Ausdruck.

Da jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlich-dimensionale Räume stets selbstdual.

Bidual

Da der Dualraum $V\text{'}$ eines Banachraums wieder ein Banachraum ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den sogenannten Bidualraum $V$ betrachten. Hier ist interessant, dass es eine kanonische Einbettung von $V$ in $V$ gibt, die durch $v\backslash mapsto\backslash left(\backslash left(f\backslash colon\; V\backslash rightarrow\; K\backslash right)\backslash mapsto\; f\backslash left(v\backslash right)\backslash right)$ gegeben ist. (Das heißt: jedes Element des ursprünglichen Raums $V$ ist auf natürliche Weise auch ein Element des Bidualraums). Wenn sich jedes Element des Bidualraums durch ein Element aus $V$ darstellen lässt, genauer wenn die kanonische Einbettung ein Isomorphismus ist, dann heißt der Banachraum reflexiv.
Reflexive Räume sind einfacher zu handhaben als nicht reflexive. Sie sind in gewisser Weise den Hilberträumen am ähnlichsten. Ein Beispiel für einen nicht-reflexiven Raum ist der Raum $C[0,1]$ der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall mit der Maximumsnorm.

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