Erwartungstreue
Erwartungstreue (selten Unverzerrtheit) ist ein Begriff der mathematischen_Statistik, mit dem die Qualität eines Schätzers bemessen werden kann. Sie drückt aus, wie gut der Schätzer den Wert aus der Grundgesamtheit repräsentiert.Definition
Es sei eine Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion aus einer parametrischen Familie mit stammt. Ein Schätzer heißt erwartungstreu für einen Parameter bzw. allgemeiner für ein Funktional , falls für alle gilt. Die anschauliche Interpretation ist, dass man mit der Wahl von als Schätzer im Mittel richtig liegt, da dessen Erwartungswert exakt dem gesuchten Parameter entspricht.
Die Abweichung von diesem Mittel heißt im Englischen bias, so dass erwartungstreue Schätzer entsprechend als unbiased oder unverzerrt bezeichnet werden.
Asymptotische Erwartungstreue
In der Regel ist es nicht von Bedeutung, dass ein Schätzer erwartungstreu ist. Die meisten Resultate der mathematischen Statistik gelten erst asymptotisch, also wenn der Stichprobenumfang ins Unendliche wächst. Von daher ist es in der Regel ausreichend, wenn Erwartungstreue im Grenzwert gilt, d. h. für eine Folge von Schätzern die Konvergenzaussage gilt.
Beispiel
Ein typisches Beispiel sind Schätzer für die Parameter von Normalverteilungen. Man betrachtet in diesem Fall die parametrische Familie
:: mit und ,
wobei jedes einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht, die normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz ist. Üblicherweise sind Beobachtungen gegeben, die stochastisch unabhängig sind und jeweils die Verteilung besitzen.
Schätzung des Mittelwerts einer Normalverteilung
Ein erwartungstreuer Schätzer für mit ist beispielsweise der empirische_Mittelwert , da gilt.
Schätzung der Varianz einer Normalverteilung
Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist dagegen nicht erwartungstreu für mit , da sich zeigen lässt. Der Bias beträgt also Da dieser asymptotisch, also für , verschwindet, ist der Schätzer allerdings asymptotisch erwartungstreu.
UMVU-Schätzer
Eine wichtige Anwendung erwartungstreuer Schätzer besteht darin, dass mit ihrer Hilfe gleichmäßig beste Schätzer konstruiert werden können. Das Ziel dabei ist es, solche Schätzer zu finden, die das Risiko, häufig gesetzt als die mittlere quadratische Abweichung, über eine ganze Klasse von Schätzern minimieren. In den allermeisten Fällen gibt es keine Schätzer, die über die gesamte Klasse von Schätzern optimal sind, so dass man sich auf Teilklassen beschränken muss.
Eine typische Teilklasse sind dabei erwartungstreue Schätzer, wobei man zeigen kann, dass genau diese Schätzer optimal sind, die als Funktion einer suffizienten und vollständigen Statistik dargestellt werden können.
Beste erwartungstreue Schätzer werden auch UMVU-Schätzer genannt, für uniformly minimum variance unbiased. Dies lässt sich darauf zurückzuführen, dass das Risiko eines Schätzers gleich der Summe aus Bias und Varianz ist. Ein erwartungstreuer Schätzer mit minimaler Varianz ist daher gerade ein bester erwartungstreuer Schätzer.
