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Beobachter (Regelungstechnik)

Beobachter berechnen in der Regelungstechnik Zustände eines Systems (insb. Regelstrecke) aus den messbaren Eingangs- und Ausgangsgrößen. Dies geschieht, weil in der Regel nicht alle Zustände messbar sind beziehungsweise eine gewünschte Redundanz nicht herstellbar ist. Um Beobachter konstruieren zu können, muss ein System beobachtbar sein. Hierbei wird zwischen struktureller Beobachtbarkeit und vollständiger Beobachtbarkeit unterschieden.

Definition vollständiger Beobachtbarkeit

thumb|right|400px|Blockdiagramm_Zustandsraumdarstellung
Ein lineares System ist dann beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion u(t) und bekannten Matrizen A und C aus der Messung des Ausgangsvektors y(t) über ein endliches Zeitintervall der Anfangszustand $x(t\_0)$ eindeutig bestimmt werden kann.

Definition strukturelle Beobachtbarkeit

Eine Klasse von Systemen $S\backslash \; (\; S\_A,\backslash \; S\_B,\backslash \; S\_C)$ heißt strukturell steuerbar bzw. strukturell beobachtbar, wenn es mindestens ein System $(A,\; B,\; C)\; \backslash in\; S$ gibt, das vollständig steuerbar bzw. vollständig beobachtbar ist.

Um dies nachzuweisen gibt es Verfahren, deren Erläuterung hier zu weit führen würde. Dabei sind $S\backslash \; (\; S\_A,\backslash \; S\_B,\backslash \; S\_C)$ Matrizen, in denen alle Elemente ungleich 0 mit * markiert wurden, da alle Elemente gleich 0 über die strukturelle Beobachtbarkeit und strukturellen Steuerbarkeit entscheiden. Sie sind nicht mit der Beobachtbarkeitsmatrix zu verwechseln.

Nachweis vollständiger Beobachtbarkeit

Strukturelle Beobachtbarkeit ist eine notwendige Bedingung für die vollständige Steuerbarkeit. Jedoch werden zumeist nur die folgenden Beobachtbarkeitskriterien genutzt, um eine vollständige Beobachtbarkeit nachzuweisen.

Das Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman ist relativ einfach zu bestimmen, jedoch kann dabei die Beobachtbarkeit nicht auf einzelne Eigenvorgänge bzw. Eigenwerte zu beziehen. Dies kann mit Hilfe des Gilbert und des Hautus Kriteriums geschehen.

Beobachtbarkeitskriterium von Kalman[Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.94 , 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. ? ISBN 3-540-32335-X]

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix $S\_B$ den Rang $n$ hat:
:$\backslash mathrm\{Rang\}\backslash \; S\_B\{\; \}=\{\; \}n$ mit
:$S\_B=\backslash begin\{pmatrix\}$
C\\
CA\\
CA^2\\
... \\
CA^{n-1}
\end{pmatrix}

Beobachtbarkeitskriterium von Gilbert[Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.95, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. ? ISBN 3-540-32335-X]

Das System $(diag\; \backslash lambda\_i,\; \backslash tilde\; C\; )$, dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Matrix $\backslash tilde\; C$ keine Nullspalte besitzt und wenn die p Spalten $\backslash tilde\; c$, der Matrix $\backslash tilde\; C$, die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.
:Mit $\backslash frac\{d\; \backslash tilde\; x(t)\}\{dt\}=diag\; \backslash lambda\_i\; \backslash tilde\; x(t),\; \backslash \; \backslash tilde\; x\; (0)=V^\{-1\}x\_0$
: $y(t)=\backslash tilde\; C\; \backslash tilde\; x(t)$
:$\backslash tilde\; C\; =\; CV$
V ist dabei die Matrix mit den Eigenvektoren.

Beobachtbarkeitskriterium von Hautus[Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.96, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. ? ISBN 3-540-32335-X]

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Bedingung:
:Rang$\backslash begin\{pmatrix\}$
\lambda_i I - A\\
C
\end{pmatrix}=n

:für alle Eingenwerte $\backslash lambda\_i(i=1,2,...,n)$ der Matrix A erfüllt ist.:Was wiederum gleichbedeuten mit der Aussage:

$C\backslash vec\; v\; \backslash neq\; \backslash vec\; 0$

:für alle Rechtseigenvektoren $\backslash vec\; v\_j\backslash \; (j=0,1,...,n-1)$ ist.

Beobachter-Normalform

Die Beobachter-Normalform kann unter anderem aus der Übertragungsfunktion:
$$
G(s)=\frac{b_0+b_1s+...+b_1s+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+...+a_1s+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}}

einfach bestimmt werden.

:$\backslash begin\{bmatrix\}$
\dot x_1\\
\dot x_2\\
...\\
\dot x_{n-1}\\
\dot x_n\\\end{bmatrix}
=\underbrace{\begin{pmatrix}
0&0& ... & 0 &-a_0\\
1&0& ... & 0 &-a_1\\
0&1& ... & 0 &-a_2\\
...& ... &... &... &... \\
0 & ... &... & 1 &-a_{n-1}\\
\end{pmatrix}}_{A_B}
\begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
...\\
x_{n-1}\\
x_n\\\end{bmatrix}+
\underbrace{
\begin{bmatrix} b_0\\
b_1\\
...\\
b_{n-2}\\
b_{n-1}\\\end{bmatrix}
}_{b_B}
u

:$y=$
\begin{matrix}
\underbrace{(0 \ 0 \ .\ .\ . \ 1)}\\
\textrm{}^{\rm c^T_B}
\end{matrix}
\begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
...\\
x_{n-1}\\
x_n\\\end{bmatrix}+
\begin{matrix}
\underbrace{b_n}\\
\textrm{}^{\rm d_B}
\end{matrix}
u.

Luenberger-Beobachter [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.332ff, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. ? ISBN 3-540-32335-X]

thumb|right||Blockdiagramm_Zustandsraumdarstellung
Die Idee von Luenberger 1964 beruht auf einer Parallelschaltung vom Beobachter zum Regelstreckenmodell. Dabei wird jedoch die Differenz zwischen $y(t)\; -\backslash hat\; y(t)$ auf das Modell zurückgeführt, um den Beobachter flexibel auf Störungen beziehungsweise eigene Ungenauigkeiten reagieren zu lassen. Grundsätzliche Gleichung des Beobachters ist also
:$\backslash frac\{d\backslash hat\; x(t)\}\{dt\}=A\; \backslash hat\; x(t)+\; B\; u(t)\; +\; u\_B(t),\backslash \; \backslash hat\; x(0)=\backslash hat\; x\_0$
:$\backslash hat\; y(t)\; =\; c\; \backslash hat\; x(t)$
dabei bestimmt sich
:$u\_B(t)=L(y(t)-\backslash hat\; y(t))$
somit ergibt sich für den Beobachter
:$\backslash frac\{d\backslash hat\; x(t)\}\{dt\}=\; (A-LC)\; \backslash hat\; x(t)+\; B\; u(t)\; +\; L\; y(t)$
Für den Beobachtungsfehler $e(t)=x(t)-\backslash hat\; x(t)$ eines Luenbergeroperator gilt daher $\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; \backslash infty\}||e(t)||=0$, wenn alle Eigenwerte der Matrix $(A\backslash \; -\backslash \; LC)$ negative Realteile besitzen.

Die Rückführmatrix $l\backslash$ wird beim Luenberger Beobachter so gewählt, dass die Matrix
:$A\text{'}\_B-c\_Bl\text{'}=\backslash begin\{pmatrix\}$
0&1& 0 & ... & 0&\\
0&0& 1 & & \vdots\\
...&...& 0& \ddots & 0\\
0 & \cdots &\cdots & 0 &1 \\
-a_0 -l_1 & -a_1 -l_2 & -a_2 -l_3 & .. &-a_{n-1}-l_n\\
\end{pmatrix}
die vorgegebenen Beobachtungseigenwerte $\backslash lambda\_\{Bi\}(i=1,...,n)$ aufweist. Bestimmt man aus diesen Eigenwerte die Koeffizenten des charakteristischen_Polynoms $(a\_\{B0\},\backslash \; a\_\{B1\},\backslash \; ...,\backslash \; a\_\{Bn-1\})$ , so kann der Vektor $l\backslash$ wie folgt bestimmt werden.
:$l\text{'}\backslash \; =(a\_\{B0\},\; a\_\{B1\},\; ...,a\_\{Bn-1\})\; -\; (a\_\{0\},\; a\_\{1\},\; ...,a\_\{n-1\})$

Reduzierter Beobachter

Reduzierter Beobachter mit Zustandsrückführung

Quellen

Siehe auch

*Steuerbarkeit
*Zustandsdarstellung
*Zustandsregelung
*Regelungstechnik

Literatur

* S.D.G. Cumming, Design of observers of reduced dynamics, Electronic Letters 5, 1961, 213-214
* D. G. Luenberger, Observing the state of a linear system. IEEE Transaction on Military Electronics, (8):74-80, 1964
* R.E. Kalman and B. Bucy, New results in linear filtering and prediction theory.Trans ASME, Series D, Journal of Basic Engineering(ASME),83D:98-108, 1961
* A. Gelb, Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, 1974
* Otto Föllinger, Regelunsgtechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung, ISBN 3-7785-2336-8

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