Wichtiger Hinweis zum Inhalt des Online-LexikonsBei den auf dieser Seite aufgeführten Texten/Artikeln/Inhalten handelt es sich ausschließlich um fremde Inhalte, die sich die Aschendorff Verlag GmbH & Co. KG ausdrücklich nicht zu Eigen macht. Diese fremden Inhalte, die keiner regelmäßigen Überprüfung unterliegen, sind ausnahmslos solche der freien Enzyklopädie Wikipedia, für die keinerlei Verantwortung übernommen wird.

---

Lizenzbestimmungen Der Text/Artikel/Inhalt auf dieser Seite innerhalb der Rubrik "Online Lexikon" basiert, soweit nicht anders angegeben, auf dem Artikel Bellsche Zahl aus der freien Enzyklopädie Wikipedia. Die Inhalte stehen unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. Eine Liste der Autoren ist dort abrufbar.

Bellsche Zahl

Die Bellsche Zahl $B\_n$ beschreibt die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell (1883-1960).

$B\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{e\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{k^n\}\{k!\}$

$B\_0:=1,\backslash quad\; B\_1=1,\backslash quad\; B\_2=2,\backslash quad\; B\_3=5,\backslash quad\; B\_4=15,\backslash quad\; B\_5=52,\backslash quad\; B\_6=203,\backslash quad\backslash dots$

Eigenschaften der Bellschen Zahlen

Die Bellschen Zahlen entspringen dieser Rekursionsformel:
:$B\_\{n+1\}=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\{\{n\; \backslash choose\; k\}B\_k\}\; =\backslash sum\_\{k=1\}^\{n+1\}\; \{n\; \backslash choose\; k-1\}\; B\_\{n+1-k\}$
Ebenso die Dobinski-Formel:
:$B\_n=\backslash frac\{1\}\{e\}\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{k^n\}\{k!\}=$ das n-te Glied einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 1.
Und sie genügen "Touchards Kongruenz": Wenn p eine Primzahl ist dann:$B\_\{p+n\}\backslash equiv\; B\_n+B\_\{n+1\}\backslash \; (\backslash operatorname\{mod\}\backslash \; p).$

Jede Bellzahl ist eine Summe der "Stirling-Zahl zweiter Art"
:$B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; S(n,k)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; S(n,k)\; \backslash quad$ (da $S(n,0)=0$).
Die Stirling Zahl S(n, k) ist die Anzahl der k nichtleeren Partitionen einer n-elementigen Menge.

Die n-te Bellzahl ist auch die Summe der Polynomialkoeffizienten.

Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{B\_n\}\{n!\}\; x^n\; =\; e^\{e^x-1\}.$

       VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE