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Frenetsche Formeln

Die frenetschen Formeln (Frenet-Formeln),
benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie.
Die Formeln verwenden eine Orthonormalbasis aus drei Vektoren,
die das lokale Verhalten der Kurve beschreiben, und drücken die
Ableitungen dieser Vektoren als
Linearkombinationen der genannten drei Vektoren aus.

Gegeben sei eine durch die Bogenlänge $s$ natürlich parametrisierte Raumkurve:

:$\backslash vec\{r\}\; =\; \backslash vec\{r\}(s)$

Für einen Kurvenpunkt $\backslash vec\{r\}(s)$ erhält man
durch Ableiten nach $s$ den
Tangenteneinheitsvektor, der die momentane Richtung
der Kurve, also die Änderung der Position bei einer Änderung der Bogenlänge, angibt:

:$\backslash vec\{t\}(s)\; =\; \backslash vec\{r\}\backslash ,\text{'}(s)$

Da der Tangenteneinheitsvektor mit $s$ seine Richtung ändert, ergibt der Betrag der Ableitung von $\backslash vec\{t\}(s)$ ? die Änderung der Richtung über der Bogenlänge ? die Krümmung $\backslash kappa(s)\backslash ,$ bzw. das Reziproke des Krümmungsradius $\backslash varrho(s)$:

:$\backslash kappa(s)=\backslash frac\{1\}\{\backslash varrho(s)\}=/\text{'}>\backslash vec\{t\}\backslash ,\text{'}(s)|=|\backslash vec\{r\}\backslash ,$(s)|

Normalisierung von $\backslash vec\{t\}\backslash ,\text{'}(s)$ liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor $\backslash vec\{n\}(s)$
(Krümmungsvektor), der sich ebenfalls auf einfache Weise geometrisch
deuten lässt: Man betrachtet den sogenannten Schmiegkreis,
also den Kreis, der durch den gegebenen Kurvenpunkt geht,
dort die gleiche Richtung hat wie die Kurve und auch in der
zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Der Hauptnormaleneinheitsvektor
gibt nun die Richtung der Verbindungsgeraden von Kurvenpunkt und
Schmiegkreismittelpunkt an. Der Krümmungsvektor $\backslash vec\{n\}(s)$ zeigt also in die Richtung, in die sich $\backslash vec\{t\}(s)$ ändert, daher sind beide orthogonal zueinander.

:$\backslash vec\{n\}(s)$
= \frac{\vec{t}\,'(s)}
= \frac{ \vec{r}\,(s)}
= \varrho(s) \, \vec{t}\,'(s)
= \varrho(s) \, \vec{r}\,(s).

Beide Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogenannte Schmiegungsebene. Deren Normalenvektor wird mit Hilfe des        VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE