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Relative Häufigkeit

Um Häufigkeitsverteilungen bezüglich der Dimension unterschiedlicher Grundgesamtheiten oder unterschiedlicher Stichprobenumfänge besser abwägen zu können, berücksichtigt man bei $n$ Wiederholungen eines zufälligen Versuchs mit dem Ereignis $A$ weniger die absoluten_Häufigkeiten $h\_n(A)$, sondern legt größeren Wert auf die so genannten bedingten oder relativen Häufigkeiten. Dabei handelt es sich um die absolute Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der Objekte in der Stichprobe, d.h. die Anzahl $n$ der Wiederholungen des Zufallsexperiments bzw. der Anzahl $n$ der tatsächlich untersuchten Objekte. Die relative Häufigkeit ergibt sich zu
:$H\_n(A)=\backslash frac\{h\_n(A)\}\{n\}$

Für die relative Häufigkeit gelten folgende Beziehungen:

:*$0\backslash leq\; H\_n(A)\backslash leq\; 1$ aufgrund der Normierung auf die Anzahl $n$ der Wiederholungen.

:*$H\_n(\backslash Omega)=\; 1\backslash ,$ für das sichere Ereignis.

:*$H\_n(A\backslash cup\; B)=H\_n(A)+H\_n(B)-H\_n(A\backslash cap\; B)$ für die Summe von Ereignissen.

:*$H\_n(\backslash bar\{A\})=1-H\_n(A)$ für das komplementäre Ereignis.

Für große $n$ wird jedem Ereignis $A$ eine reelle
Funktion $W(A)$ oder $P(A)$ als Grenzwert der relativen Häufigkeit $H\_n(A)$ zugeordnet, die die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses $A$ bestimmt.

Beispiel

In einer Umfrage werden 453 Personen nach ihrem Alter befragt. Bei der Auszählung stellt man fest, dass 197 Personen in die Klasse "von 20 Jahre bis unter 30 Jahre" fallen. Damit ist die relative Häufigkeit dieser Klasse 197 zu 453 (197/453) = 43,5%.

In einer Urne befinden sich 7 rote, 5 blaue und 3 grüne Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel blind aus der Urne zu ziehen, sei für alle Kugeln gleich.

(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen?

(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?

(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder blaue Kugel zu ziehen?


Lösung:

a) (grün) 3/15; gekürzt: 1/5 = 0,2; in Prozent: 20%

b) (keine blau) 10/15, gekürzt: 2/3 = 0,666; in Prozent: 66,6%

c) (rot oder blau) 12/15; gekürzt: 4/5 = 0,8; in Prozent: 80%Siehe auch: Häufigkeit

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