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Bedingter Erwartungswert

Bedingte Erwartungswerte und bedingte Wahrscheinlichkeiten bezüglich einer Teil-?-Algebra stellen eine Verallgemeinerung von bedingten_Wahrscheinlichkeiten dar. Sie werden unter anderem bei der Formulierung von Martingalen verwendet.

Einleitung

Ein Beispiel

Wenn zwei unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen $X$ und $Y$ gegeben sind, kann man, ohne lange zu überlegen, den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable $Z=2X+Y-3$, gegeben $X$, angeben, d. h. den Wert, den man im Mittel für den Ausdruck $2X+Y-3$ erwartet, wenn man $X$ kennt:
:$E(Z|X)=2X-3$
Diese Gleichung wirft jedoch mehrere technische Fragen auf, die generell eine etwas sorgfältigere Vorgehensweise bei der Definition erforderlich machen:
* Der Ausdruck $E(Z|X)$ auf der linken Seite ergibt nur Sinn, wenn man $X$ als eine Zufallsvariable auffasst. Man kann z. B. nicht für $X$ den Wert $5$ einsetzen und schreiben $E(Z/\text{'}>5)=7$.
* Wenn man $X$ als eine Zufallsvariable auffasst, dann ist notwendigerweise der Ausdruck $2X-3$ auf der rechten Seite, der eine Funktion von $X$ ist, ebenfalls eine Zufallsvariable. Der bedingte Erwartungswert ist somit eine Zufallsvariable.
* Wenn man eine Zufallsvariable $X\text{'}$ durch $X\text{'}=2X$ definiert, gilt $E(Z|X\text{'})=E(X\text{'}+Y-3|X\text{'})=X\text{'}-3=2X-3$. Also hängt der bedingte Erwartungswert von $Z$ nicht davon ab, welche Werte die Zufallsvariable in der Bedingung ($X$ bzw. $X\text{'}$) annimmt, sondern nur davon, welche Informationen die Werte implizieren. Diese Informationen können durch die von der Zufallsvariable erzeugte Teil-unabhängig und standardnormalverteilt. Man erhielte aber $E(Z|X)=2X-3$ nur noch, wenn $X$ nicht $0$ ist, und sonst $E(Z|X)=0$. Das zeigt, dass der bedingte Erwartungswert nicht eindeutig festgelegt ist, und dass es, wenn überhaupt, nur sinnvoll ist, den bedingten Erwartungswert für alle Werte von $X$ simultan zu definieren, da man ihn für einzelne Werte beliebig abwandeln kann.

Herleitung aus bedingten Wahrscheinlichkeiten

In einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{A\},\; P)$ gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A/\text{'}>B)$ an, wie wahrscheinlich das Ereignis $A$ ist, wenn man Information über das Eintreten von $B$ erhalten hat. Allgemeiner kann man nach der Wahrscheinlichkeit $P(A|\backslash mathcal\{B\})$ fragen, die angibt, wie wahrscheinlich $A$ ist, wenn man Information über das Eintreten bzw. Nichteintreten einer Menge $\backslash mathcal\{B\}$ von Ereignissen erhalten hat. Man kann dabei annehmen, dass $\backslash mathcal\{B\}$ eine Zufallsvariablen $X\_1,\; ...,\; X\_n$ kennt, dann weiß man, unabhängig vom jeweiligen Wert, über alle Ereignisse der Form $\backslash \{(X\_1,\; ...,\; X\_n)\backslash in\; E\backslash \}$ Bescheid, d. h. $\backslash mathcal\{B\}$ ist in diesem Fall die von den Zufallsvariablen erzeugte ?-Algebra $\backslash sigma(X\_1,\; ...,\; X\_n)$. Die Wahrscheinlichkeit $P(A/\text{'}>\backslash mathcal\{B\})$ hängt dann davon ab, welchen Wert $X\_1,\; ...,\; X\_n$ annehmen, oder allgemein, welche Ereignisse von $\backslash mathcal\{B\}$ eingetreten sind und welche nicht eingetreten sind, d. h. $P(A|\backslash mathcal\{B\})$ ist eine Funktion von $\backslash omega\backslash in\backslash Omega$, die totale Wahrscheinlichkeit ergibt sich für jedes $B\backslash in\backslash mathcal\{B\}$
:$\backslash int\_B\; P(d\backslash omega)\; \backslash ,\; P(A/\text{'}>\backslash mathcal\{B\})(\backslash omega)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; P(B\; \backslash cap\; A)$,
was sich auch schreiben lässt als $E(\backslash mathrm1\_B\; P(A|\backslash mathcal\{B\}))\; =\; E(\backslash mathrm1\_B\; \backslash mathrm1\_A)$, wobei $\backslash mathrm1\_A$, $\backslash mathrm1\_B$ die Erwartungswert einer Zufallsvariable $X:\backslash Omega\backslash to\backslash R$ betrachtet. Beide Ansätze werden in der nachfolgenden Definition kombiniert.

Definition

$X$ sei eine Zufallsvariable mit Werten in $[-\backslash infty,+\backslash infty]$ in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{A\},\; P)$, und $\backslash mathcal\{B\}\; \backslash subset\; \backslash mathcal\{A\}$ sei eine Teil-?-Algebra.

Eine Zufallsvariable $Y$ mit Werten in $[-\backslash infty,+\backslash infty]$ heißt bedingter Erwartungswert von $X$ bezüglich $\backslash mathcal\{B\}$, geschrieben $E(X/\text{'}>\backslash mathcal\{B\})$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $Y$ ist Nullmenge in $\backslash mathcal\{B\}$, wodurch sich die einheitliche Schreibweise $E(X/\text{'}>\backslash mathcal\{B\})$ rechtfertigen lässt.

Ist $\backslash mathcal\{B\}$ die von Zufallsvariablen $X\_1$, ..., $X\_n$ erzeugte stochastischen_Kern $\backslash pi$ von $(\backslash Omega,\backslash mathcal\{B\})$ nach $(\backslash Omega,\backslash mathcal\{A\})$ zusammenfassen kann,
: $P(A\; |\; \backslash mathcal\{B\})(\backslash omega)\; =\; \backslash pi(\backslash omega;\; A)$     für alle  $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega,\backslash ,\; A\; \backslash in\; \backslash mathcal\{A\}$,
spricht man von regulärer bedingter Wahrscheinlichkeit.Faktorisierung: Der bedingte Erwartungswert $E(X|X\_1,\; ...,\; X\_n)$, der als eine Funktion von $\backslash omega$ definiert ist, lässt sich auch als eine Funktion von $X\_1,\; ...,\; X\_n$ darstellen: Es gibt eine messbare Funktion $f$, so dass
: $E(X/\text{'}>X\_1,\; ...,\; X\_n)(\backslash omega)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; f(X\_1(\backslash omega),\; ...,\; X\_n(\backslash omega))$     für alle  $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$.Existenz: Die allgemeine Existenz bedingter Erwartungswerte für Satz von Radon-Nikodym zeigen. In der hier angegebenen Definition existiert der bedingte Erwartungswert $E(X/\text{'}>\backslash mathcal\{B\})$ genau dann, wenn es eine Menge $B\backslash in\backslash mathcal\{B\}$ gibt, so dass $\backslash mathrm1\_B\; X$ und $\backslash mathrm1\_\{B^c\}\; X$ fast überall. (Man könnte auch letzteren Ausdruck für die Definition verwenden, um Fälle wie $E(X/\text{'}>|X|)=0$ für eine polnischen_Räumen mit der Borel-?-Algebra, allgemeiner gilt: Ist $Z$ eine beliebige Zufallsvariable mit Werten in einem polnischen Raum, so existiert eine Version der Verteilung $P(Z\backslash in\backslash ,\backslash cdot\backslash ,\backslash ,\; /\text{'}>\; X\_1,\; ...,\; X\_n)$ in der Form eines bedingten_Wahrscheinlichkeit überein:
: $P(A\; |\; \backslash mathcal\{B\})(\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{P(A\; \backslash cap\; B)\}\{P(B)\}$     für alle  $\backslash omega\; \backslash in\; B$Rechnen mit Dichten: Ist $f\_\{X,Y\}\; :\; (a,b)\backslash times(c,d)\; \backslash to\; (0,\backslash infty)$ eine beschränkte Dichte der gemeinsamen Verteilung von Zufallsvariablen $X,Y$, so ist
:$f\_\{X|Y\}(x,\; y)\; =\; \{f\_\{X,Y\}(x,y)\; \backslash over\; \backslash int\_a^b\; f\_\{X,Y\}(u,y)\; du\}$
die Dichte einer regulären bedingten Verteilung $P(X\backslash in\backslash ,\backslash cdot\backslash ,\backslash ,\; |\; Y)$ in der faktorisierten Form.

Rechenregeln

Die Gleichungen sind, soweit nichts anderes angegeben ist, jeweils so zu verstehen, dass die linke Seite genau dann existiert (im Sinne der obigen Definition), wenn die rechte Seite existiert.

* Für die triviale ?-Algebra $\backslash mathcal\{B\}\; =\; \backslash \{\backslash emptyset,\backslash Omega\backslash \}$ ergeben sich einfache Erwartungswerte und Wahrscheinlichkeiten:
*: $E(X|\backslash mathcal\{B\})(\backslash omega)\; =\; E(X)$    für alle  $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$
*: $P(A|\backslash mathcal\{B\})(\backslash omega)\; =\; P(A)$    für alle  $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$

* Ist $X$ unabhängig von $\backslash mathcal\{B\}$, so gilt $E(X|\backslash mathcal\{B\})\; =\; E(X)$ fast überall.

* Ist $\backslash mathcal\{B\}\; =\; \backslash mathcal\{A\}$ oder $X$ messbar bezüglich $\backslash mathcal\{B\}$, so gilt $E(X|\backslash mathcal\{B\})\; =\; X$ fast überall.

* Turmeigenschaft: Für Teil-?-Algebren $\backslash mathcal\{C\}\backslash subset\backslash mathcal\{B\}\backslash subset\backslash mathcal\{A\}$ gilt $E(E(X|\backslash mathcal\{B\})|\backslash mathcal\{C\})\; =\; E(X|\backslash mathcal\{C\})$ und $E(E(X|\backslash mathcal\{C\})|\backslash mathcal\{B\})\; =\; E(X|\backslash mathcal\{C\})$ fast überall.

* Es gilt $E(X\_1\; +\; X\_2\; |\; \backslash mathcal\{B\})\; =\; E(X\_1\; |\; \backslash mathcal\{B\})\; +\; E(X\_2\; |\; \backslash mathcal\{B\})$ fast überall, wenn $X\_1$ oder $X\_2$ einen endlichen Erwartungswert besitzt.

* Es gilt $E(a\; X\; |\; \backslash mathcal\{B\})\; =\; a\; E(X\; |\; \backslash mathcal\{B\})$ fast überall für reelle Zahlen $a\; \backslash ne\; 0$.

* Monotonie: Aus $X\_1\; \backslash le\; X\_2$ folgt $E(X\_1\; |\; \backslash mathcal\{B\})\; \backslash le\; E(X\_2\; |\; \backslash mathcal\{B\})$ fast überall, wenn die bedingten Erwartungswerte existieren.

Monotone_Konvergenz: Aus $X\_n\; \backslash uparrow\; X$ folgt $E(X\_n\; |\; \backslash mathcal\{B\})\; \backslash uparrow\; E(X\; |\; \backslash mathcal\{B\})$ fast überall, wenn die bedingten Erwartungswerte existieren und $E(X\_1\; |\; \backslash mathcal\{B\})\; >\; -\backslash infty$ fast überall.

Jensensche Ungleichung: Ist $f\; :\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ eine konvexe Funktion, so gilt $f(E(X/\text{'}>\backslash mathcal\{B\}))\; \backslash le\; E(f(X)|\backslash mathcal\{B\})$ fast überall, wenn die bedingten Erwartungswerte existieren.

* Ist $Y$ messbar bezüglich $\backslash mathcal\{B\}$, so gilt $E(YX|\backslash mathcal\{B\})\; =\; Y\; E(X|\backslash mathcal\{B\})$ fast überall, wenn die bedingten Erwartungswerte existieren. Insbesondere ist $E(Y(X\; -\; E(X|\backslash mathcal\{B\})))\; =\; 0$ fast überall, d. h. der bedingte Erwartungswert $E(X|\backslash mathcal\{B\})$ ist im Sinne des Skalarprodukts von        VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE