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BDF-Verfahren

Die BDF-Verfahren (englisch Backward Differentiation Formulas) sind Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen:
:$$
y'(x) = f(x, y(x)), \quad
y(x_0) = y_0, \quad
y \colon \R \to \R^n

Dabei wird für $y(x)$ eine Näherungslösung an den Zwischenstellen $x\_i$ berechnet:
:$y\_i\; \backslash approx\; y(x\_i)\; \backslash quad\; i=1...m$
Die Verfahren wurden 1952 von Curtiss und Hirschfelder eingeführt und sind seit dem Erscheinen der Arbeiten von Gear 1971 als Löser für steife gewöhnliche Differentialgleichungen weit verbreitet.

Beschreibung

Im Gegensatz zu Adams-Moulton-Verfahren wird bei BDF-Verfahren nicht die rechte Seite durch ein Interpolationspolynom approximiert, sondern es wird durch die letzten k Approximationen $y\_\{n+1-k\}$ an die Lösung, sowie dem unbekannten Wertes $y\_\{n+1\}$ ein Interpolationspolynom gelegt. Der unbekannte Wert $y\_\{n+1\}$ ergibt sich dann, indem man fordert, dass die Ableitung des Polynoms die Differentialgleichung im Punkt $x\_\{n+1\}$ erfüllt:

:$y\text{'}(x\_\{n+1\})=\backslash frac\{1\}\{h\}\backslash sum^\{k\}\_\{j=0\}\backslash alpha\_j\; y\_\{n+1-j\}\; =\; f(x\_\{n+1\},\; y\_\{n+1\}).$

Dabei ist $h=x\_\{i+1\}-x\_i$ die Schrittweite. Nachdem man geeignete Startwerte $y\_1..y\_\{k-1\}$ z.B. mittels Einschrittverfahren generiert hat erhält man die restlichen Näherungen über die Formel:

:$\backslash sum^\{k\}\_\{j=0\}\backslash alpha\_j\; y\_\{n+1-j\}=h\; \backslash cdot\; f\backslash left(x\_\{n+1\},\; y\_\{n+1\}\backslash right).$

Die Koeffizienten $\backslash alpha\_j$ ergeben sich aus dem Ableiten des Interpolationspolynoms und sind bei konstanter Schrittweite h über die Newton-Cotes-Formeln explizit gegeben, hier die Koeffizienten der ersten drei Verfahren.

Eigenschaften

Die BDF-Verfahren sind alle implizit, da der unbekannte Wert $y\_\{n+1\}$ in die Gleichung eingeht. BDF(k) besitzt genau die A-stabil, die Verfahren höherer Ordnung A($\backslash alpha$)-stabil, wobei der Öffnungswinkel $\backslash alpha$ sich mit höherer Ordnung verkleinert. Für k>6 sind die Verfahren instabil. Insbesondere BDF(2) ist aufgrund seiner optimalen Eigenschaften bezüglich der zweiten_Dahlquist-Barriere bei der Berechnung steifer Differentialgleichungen sehr beliebt.

Literatur

* E. Hairer, G.: Solving Ordinary Differential Equations 1. Nonstiff Problems, Springer Verlag ISBN 3540566708
* E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag
* H.R. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik, Teubner (2004)

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