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Bandmatrix

Mit Bandmatrix wird in der Numerischen_Mathematik eine Matrix bezeichnet bei der neben der Hauptdiagonalen nur eine bestimmt Anzahl Nebendiagonalen Elemente ungleich Null aufweist. Sind nur eine untere und eine obere Nebendiagonale ungleich Null so spricht man von Tridiagonalmatrizen. Diese Matrizen sind damit dünnbesetzte_Matrizen mit einer speziellen Struktur. Bandmatrizen entstehen häufig bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen.

Beschreibung

Sei $p,q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ $p,q\backslash ge0$ so ist die Matrix A eine Bandmatrix der Bandbreite l=p+q+1 falls für ihre Elemente $a\_\{ij\}$ gilt:

:$a\_\{ij\}=0$ für

Neben der Hauptdiagonale sind also nur p untere und q obere Nebendiagonalen besetzt.

$\backslash left($
\begin{matrix}
a_{11} & \ldots & a_{1(q+1)} & 0 & \ldots& \ldots & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & & \ddots & \ddots & & & \vdots \\
a_{(p+1)1}& & \ddots & & \ddots & \ddots & & \vdots\\
0& \ddots & & \ddots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots& &\ddots & & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots&\ddots & & \ddots & & a_{(n-q)n} \\
\vdots & & & \ddots& \ddots& & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots &\ldots & \ldots & 0 & a_{n(n-p)} & \ldots & a_{nn}
\end{matrix}
\right)

Eigenschaften

Für reguläre Bandmatrizen reduziert sich der Aufwand für eine LR-Zerlegung oder eine Cholesky-Zerlegung auf O(n).

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