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Fixpunktsatz von Banach

Der Fixpunktsatz von Banach ist ein Satz aus der Mathematik. Er ist nach dem Mathematiker Stefan Banach benannt und enthält eine Existenz-, eine Konstruktions- und eine Fehleraussage für Fixpunktprobleme.

Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.

Aussagen des Fixpunktsatzes

Existenz: Eine Kontraktion $\backslash varphi:\; M\; \backslash to\; M$ eines (nichtleeren) vollständigen metrischen Raumes $M$ besitzt genau einen Fixpunkt, also einen Punkt $\backslash xi\; \backslash in\; M$ mit $\backslash varphi(\backslash xi)\; =\; \backslash xi$.

Dabei ist:
*z.B. jeder Banachraum, und unter diesen jeder normierte endlichdimensionale reelle oder komplexe Vektorraum, ein vollständiger metrischer Raum,
*eine Kontraktion eine Abbildung $\backslash varphi:\; M\; \backslash to\; M$, welche Lipschitz-stetig mit einer Konstanten ist.

Konstruktion: Für jeden Startwert $x\_0\; \backslash in\; M$ konvergiert die Folge $(x\_n)$ mit $x\_\{n+1\}\; :=\; \backslash varphi(x\_n)$ gegen $\backslash xi$.

Fehlerabschätzung: Es gibt die folgenden Abschätzungen für den Abstand des Fixpunktes zur rekursiven Folge:
*A-priori-Abschätzung
:$d(x\_n,\backslash xi)\backslash le\backslash frac\{\backslash lambda^n\}\{1-\backslash lambda\}d(x\_0,x\_1)$ (u.a. auch für n=0)
:für den n-ten Fehler durch die ersten beiden Folgenglieder und die
*A-posteriori-Abschätzung
:$d(x\_n,\backslash xi)\backslash le\backslash frac\{\backslash lambda\}\{1-\backslash lambda\}d(x\_\{n-1\},x\_n)$
:für den n-ten Fehler durch die beiden zuletzt bestimmten Folgenglieder.
ist dabei die Kontraktionskonstante bzw. Lipschitz-Konstante.

----Oft wird dieser Satz nicht allgemein auf (vollständigen) metrischen Räumen, sondern auf einem Banach-Raum B, also einem vollständigen normierten Vektorraum, oder einer Teilmenge M?B davon formuliert. Der einzige Unterschied ist, dass der Abstand dann durch die Norm der Differenz erklärt ist, $d(x,y):=\backslash /\text{'}>y-x\backslash |$.

Zum Beweis

Beweisidee für normierte Räume

Um den Beweisgang zu verstehen, ist es hilfreich, zunächst in einem geometrische Reihe als Majorante hat. Wegen der Vollständigkeit des Raumes folgt daraus die Konvergenz der Reihe, der Punkt $\backslash xi:=x\_0+\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k$ ist der gesuchte Fixpunkt.

Beweis im metrischen Raum

Wir betrachten das Problem im vollständigen metrischen Raum. Wieder konstruieren wir die rekursive Folge. Statt direkt mit Teleskopsummen zu operieren, betrachten wir die Abstände $b\_n:=d(x\_n,\backslash ,x\_\{n+1\})$. Die mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung auf die Differenz beliebiger Folgenglieder liefert
:$d(x\_n,\backslash ,x\_\{n+p\})\backslash le\backslash sum\_\{k=n\}^\{n+p-1\}b\_k$.
Zeigen wir also, dass die Reihe $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; b\_k$ konvergiert, genauer eine geometrische Reihe als Majorante hat, so ist $(x\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$ eine Cauchy-Folge und damit konvergent. Nach Voraussetzung der Kontraktivität gilt:
:$b\_\{n+1\}=d(x\_\{n+1\},\backslash ,x\_\{n+2\})=d\backslash left(\backslash phi(x\_n),\backslash ,\backslash phi(x\_\{n+1\})\backslash ,\backslash right)\backslash le\backslash lambda\; d(x\_n,x\_\{n+1\})=\backslash lambda\; b\_n$.

Also ist $(\backslash lambda^\{-n\}b\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$ eine monoton_fallende_Folge, mithin $b\_\{n+p\}\backslash le\backslash lambda^pb\_n$, insbesondere
:$0\backslash le\; b\_n\backslash le\backslash lambda^n\; b\_0$, $\backslash Longrightarrow\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; b\_k\backslash le\; \backslash frac1\{1-\backslash lambda\}b\_0$ wegen ?<1.

Es gibt also den Grenzwert $\backslash xi:=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$. Für die Abschätzungen erhalten wir
:$d(x\_n,\backslash xi)\backslash le\backslash sum\_\{k=n\}^\backslash infty\; b\_k\backslash le\backslash frac1\{1-\backslash lambda\}\; b\_n\backslash le\; \backslash frac\{\backslash lambda^n\}\{1-\backslash lambda\}b\_0$
Insbesondere ist $d(\backslash phi(\backslash xi),\backslash xi)=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}d(\backslash phi(x\_n),\backslash xi)=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}d(x\_\{n+1\},\backslash xi)=0$, also ?=?(?) tatsächlich ein Fixpunkt. Für einen weiteren möglichen Fixpunkt ? gilt $d(\backslash eta,\backslash xi)=d(\backslash phi(\backslash eta),\backslash phi(\backslash xi))\backslash le\backslash lambda\; d(\backslash eta,\backslash xi)$, was nur bei ?=? möglich ist

Anwendungen

Dieser Satz wird in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt, die wichtigsten sind:
* das inverse-_und_implizite-Funktionen-Theorem
* der Existenz-_und_Eindeutigkeitssatz_von_Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen

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