Banach-Raum
= 0
gilt. Der Grenzwert wird hier über alle Folgen mit nicht-Null-Element aus V gebildet, die gegen 0 konvergieren.
Falls der Grenzwert existiert, schreibt man Df(x) = A und nennt es die (Fréchet)-Ableitung von f in x. Weitere Verallgemeinerungen der Ableitung ergeben sich analog zur Analysis auf endlich-dimensionalen Räumen. Gemeinsam für alle Ableitungsbegriffe ist aber die Frage nach der Stetigkeit der linearen Abbildung
Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen , da die linearen Abbildungen von auf einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.
Falls f differenzierbar ist in jedem Punkt x aus V, dann ist Df : V → L(V, W) eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen keine lineare Abbildung!), und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von f definiert werden. Die n-te Ableitung im Punkt x kann somit als multilineare Abbildung gesehen werden.
Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: sind und zwei Abbildungen V - W, die in x differenzierbar sind, und r und s sind Skalare aus , dann ist differenzierbar in x mit D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x).
Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig. Wenn eine in und eine in differenzierbare Funktion ist, dann ist die Komposition in differenzierbar und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen:
:
Dualer_Raum
Ist ein Banach-Raum und der zugrundeliegende Körper, dann ist selbst ebenfalls ein Banach-Raum (mit dem Absolutbetrag als Norm) und man kann den dualen Raum definieren durch .
Dieser ist wiederum ein Banach-Raum.
Er kann verwendet werden, um eine neue Topologie auf zu definieren: die schwache Topologie.
Es gibt eine natürliche Abbildung von auf definiert durch
:
für alle aus und aus .
Wie es aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, ist diese Abbildung injektiv;
falls sie zudem noch surjektiv ist, so nennt man den Banachraum reflexiv.
Reflexive Räume haben viele wichtige geometrische Eigenschaften.
Ein Raum ist reflexiv genau dann wenn sein Dual reflexiv ist, was der Fall ist genau dann wenn seine Einheitskugel in der schwachen Topologie kompakt ist.
Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen
Jeder Hilbert-Raum ist ein Banach-Raum, aber nicht umgekehrt: ein Banach-Raum ist genau dann ein Hilbert-Raum, wenn in ihm die Parallelogrammgleichung zumindest für eine äquivalente Norm gilt.
Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen
oder der Raum aller Distributionen auf , sind zwar vollständig aber keine normierten Vektorräume und daher keine Banachräume.
In Fréchet-Räumen hat man noch eine vollständige Metrik, während LF-Räume vollständige uniforme_Vektorräume sind, die als Grenzfälle von Fréchet-Räumen auftauchen.
Literatur
Stefan Banach: [http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10 Théorie des opérations linéaires].'' Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) [http://www-irma.u-strasbg.fr/math-cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?format=complete&type=html&an=0005.20901 Zbl 0005.20901]
