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Banachalgebra

Banachalgebren (nach Stefan Banach) sind mathematische Objekte der Funktionalanalysis, die einige bekannte Funktionenräume anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern (z. B. Mengen stetiger oder integrierbarer Funktionen).

Eine Banachalgebra ist ein Vektorraum, in dem zusätzlich auch eine Multiplikation und eine Norm so definiert sind,
dass gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

Definition

Ein Vektorraum (V,+)
: über dem Körper $\backslash Bbb\; K\; =\; \backslash R$ oder $\backslash mathbb\{C\}$
: mit einer Norm $\backslash left\backslash /\text{'}>\; \backslash cdot\; \backslash right\backslash |$
: und einem Produkt $\backslash circ\; :\; V\; \backslash times\; V\; \backslash to\; V$
ist eine Banachalgebra, wenn gilt:
* $(\; V,+,\; \backslash left\backslash |\; \backslash cdot\; \backslash right\backslash |\; )$ ist ein Involution $*:\backslash mathcal\{A\}\backslash to\backslash mathcal\{A\},\backslash ,\; a\backslash mapsto\; a^*$, so dass
*$\backslash forall\; a\backslash in\; \backslash mathcal\{A\}:(a^*)^*=a$ (involutiv)
*$\backslash forall\; a,b\backslash in\; \backslash mathcal\{A\}:(ab)^*=b^*\; a^*$ (anti-multiplikativ)
*$\backslash forall\; a,b\backslash in\backslash mathcal\{A\}\backslash forall\; z,w\backslash in\; \backslash mathbb\{C\}:(za+wb)^*=\backslash bar\; z\; a^*\; +\backslash bar\; w\; b^*$ (semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
*$\backslash forall\; a\backslash in\backslash mathcal\{A\}:\backslash |a\backslash |=\backslash |a^*\backslash |$ (isometrisch)

C*-Algebra

Die Banachalgebra $L(H)$ ($H$ ein Hilbertraum) motiviert die folgende Definition:
Eine Banachalgebra $V$, auf der zusätzlich eine semilineare Involution $*:V\; \backslash to\; V$ gegeben ist, heißt C*-Algebra, wenn gilt:
* $\backslash /\text{'}>x^*x\backslash |\; =\; \backslash |x\backslash |^2$ für alle $x\; \backslash in\; V$

Anwendung

Anwendung finden Banachalgebren u. a. in der nichtkommutative Geometrie bezeichnet wird.

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